因式分解知识点归纳

因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(cbammcmbma（2）运用公式法：平方差公式：))((22bababa；完全平方公式：222)(2bababa（3）十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法5、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：235()()()ababab6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(47、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab9、零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(23310、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx323211、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]如：)(3)32(2yxyyxx12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：)6)(5()3)(23(xxbaba三、知识点分析：1.同底数幂、幂的运算：am·an=am+n(m，n都是正整数).(am)n=amn(m，n都是正整数).例题1.若6422a，则a=；若8)3(327n，则n=例题2.若125512x，求xx2009)2(的值。例题3.计算mnxyyx2322练习1.若32na，则na6=.2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。2.积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例题1.计算：43ppmnnmmn3.乘法公式平方差公式：22bababa完全平方和公式：2222bababa完全平方差公式：2222bababa例题1.利用平方差公式计算：2009×2007－20082例题2.利用平方差公式计算：22007200720082006．3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（）A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2C.x2-1=(x+1)(x-1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249akabb可以因式分解为2(23)ab，则k的值为______3、已知a为正整数，试判断2aa是奇数还是偶数4、已知关于x的二次三项式2xmxn有一个因式(5)x，且m+n=17，试求m，n的值考点二提取公因式法提取公因式法：)(cbammcmbma公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式3222012ababc分解因式，应提取的公因式是（）A、abB、24abC、4abD、24abc2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)xxxx可因式分解为()(8)axbxc，其中a，b，c均为整数，则a+b+c等于（）A、-12B、-32C、38D、723、分解因式（1）6()4()aabbab（2）3()6()axybyx（3）12nnnxxx（4）20112010(3)(3)4、先分解因式，在计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)xxxxxxx其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)aaaaa其中a=185、已知多项式42201220112012xxx有一个因式为21xax，另一个因式为22012xbx，求a+b的值6、若210ab，用因式分解法求253()abababb的值7、已知a，b，c满足3ababbcbccaca，求(1)(1)(1)abc的值。（a，b，c都是正整数）考点三、用乘法公式分解因式平方差公式))((22bababa运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、22x4yB、22x2y1C、224xyD、224xy2、分解下列因式（1）2312x（2）2(2)(4)4xxx（3）22()()xyxy（4）32xxy（5）2()1ab（6）22229()30()25()ababab（7）220092011201013、若n为正整数，则22(21)(21)nn一定能被8整除完全平方式222)(2bababa运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1、在多项式①22x2xyy②22x2xyy③22xxy+y④24x1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、①②B、②③C、①④D、②④2、下列因式分解中，正确的有（）①32224aaba(4ab)②2xy2xyxyxy(x2)③aabaca(abc)④29abc6ab3abc(32a)⑤22222xyxyxy(xy)333A、0个B、1个C、2个D、5个3、如果22(3)16xmx是一个完全平方式，那么m应为（）A、-5B、3C、7D、7或-14、分解因式(1)242mxmxm(2)22-42aa(3)xxx232（4）22(23)(3)xx（5）2882xyxyy（6）22224(x-2xy)+2y(x-2xy)+y（7）4x2－12xy+9y2－4x+6y-35、已知2ab，2ab，求32231122ababab6、证明代数式2210845xyxy的值总是正数7、已知a，b，c分别是ABC的三边长，试比较2222()abc与224ab的大小考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式ab、的积，并且ab等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式2xpxq分解成例题讲解1、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=512解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：672xx解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1=)6)(1(xx1-6（-1）+（-6）=-7练习分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx(4)22xx(5)1522yy(6)24102xx2、二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例题讲解1、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx分解因式：（1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy3、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba4、二次项系数不为1的多项式例题讲解22672yxyx2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa考点五、因式分解的应用1、分解下列因式（1）233x（2）324xyx（3）32627xxx（4）2221abb2、计算下列各题（1）2(441)(21)aaa（2）222(2)()abcababc3、解方程（1）2216(1)25(2)xx（2）2(23)(23)xx4、如果实数ab，且101101ababab，那么a+b的值等于________5、2222222221234562009201020112012......12345620092010201120126、若多项式212xax能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）7、先变形再求值（1）已知1216xy，4xy，求43342xyxy的值（2）已知23820xx，求21232xx的值8、已知a、b、c为三角形三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试说明该三角形是等边三角形9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数10、阅读下列因式分解的过程，回答问题（1）上述分解因式的方式是_________，共用了______次。（2）若分解220121(1)(1)...(1)xxxxxxx，则需上述方法______次，结果为_______________________（3）分解因式