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第三十七讲点共线与线共点【趣题引路】证明梅涅劳斯定理:如图20-1,在△ABC中,一直线截△ABC的三边AB、AC及BC时延长线于D、E、F三点,求证:1DBADEACEFCBE.解析左边是比值的积,而右边是1,转化比值使其能约简,想到平行线分线段成比例作平行线即可.证明过点C作CG∥EF交AB于G.∴DGBDCFBF,ADDGAEEC,∴1BDADADDGDGBDDBADEACEFCBE.证明塞瓦定理:如图20-2,在△ABC内任取一点P,直线AP、BP、CP分别与BC、CA、AB相交于D、E、F,求证:1FBAFEACEDCBD.证明ACPABPSSDCBD,BAPBCPSSEACE,BCPACPSSFBAF.∴1BCPACPABPBCPACPABPSSSSSSFBAFEACEDCBD【知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题,是几何中常遇到的困难而有趣的问题,解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法.2.证明三点共线的方法是:(1)利用平角的概念;证明相邻两角互补.(2)当AB±BC=AC时,A、B、C三点共线.(3)用同一方法证明A、B、C中一点必在另两点的连线上.(4)当AB、BC平行于同一直线时,A、B、C三点共线.(5)若B在PQ上,A、C在P、Q两侧,∠ABP=∠CBQ时,A、B、C三点共线.(6)利用梅涅劳斯定理的逆定理.3.证明三线共点的基本方法是:(1)证明其中两条直线的交点在第三条直线上.(2)证明三条直线都经过某一个特定的点.(3)利用已知定理,例如任意三角形三边的中垂线交于一点,三条内角平分线交于一点,三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等.(4)利用塞瓦定理的逆定理.在证题过程中要根据题意灵活选用方法.例题求解【例1】如图20-3,已知BD=CE,求证:AC×EF=AB×DF.思路点拨等积转化为等比,由比例式可看出直线BCF截△ADE的三边,即可用梅氏定理加以证明.交△ADE三边所在直线于B、C、F.由梅氏定理得:1ACECEFDFBDAB,∵BD=CE∴AC×EF=AB×DF.【例2】(1995年河北省初中竞赛题)如图20-4,在正△ABC的边BC、CA、AB上分别有内分点D、E、F,将边分成2:(n-2)(其中n>4),线段AD,BE,CF相交所成的△PQR的面积是△ABC面积的71,则n的值是()A.5B.6C.7D.8思路点拨22nFBAFEACEDCBD,由梅氏定理有1222nnPDAPEACEBCDBPDAP.∴4)2(nnPDAP,∴4)2()2(nnnnADAP,∴S△ABP=S△ABD=nnnnn24)2()2(S△ABC=4)2()2(2nnnS△ABC同理S△BCQ=S△CAR=4)2()2(2nnnS△ABCS△ABP+S△BCQ+S△CAR=4)2()2(6nnnS△ABC由已知764)2()2(6nnn,解得6n,故选B.【例3】如图20-5,△ABC的外角平分线与边BC的延长线交于P,∠B的平分线交AC于Q,AC的平分线交AB于R,求证:P、Q、R三点共线.思路点拨AP为∠BAC的外角平分线,∴PCBPACAB,∴BQ为角平分线,∴QCAQBCAB,同理得:RABRACBC.∵1ABBCACABBCACQACQPCBPRBAR,∴P、Q、R三点共线.【例4】求证:三角形的三条角平分线交于一点.已知:如图20-6,AD、BE、CF分别为角平分线,求证:AD、BE、CF交于一点.思路点拨AD为∠BAC的平分线,∴ACABDCBD同理得:ABBCEACE,BCACBFAF.1BCACABBCACABFBAFEACEDCBD.∴由塞瓦定理得AD、BE、CF交于一点.【例5】如图20-7,已知G是△ABC的重心,M、N是GB、GC的中点.延长AC至E,使CE=21AC;又延长AB至F,使BF=21AB.求证:AG、ME、NF三线共点.、BG、CG交BC、CA、AB于X、Y、Z,则GY=31BY=MG,YC=21AC=CE,从而GC∥ME.又M是BC的中点,故ME过BC的中点X,同理NF也过BC的中点X,从而AG、EM、NF三线共点.【例6】如图20-8,已知等边△ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边△PCD,等边△QAE和等边△RAB.问R、B、P三点是否共线,若共线判断△PQR是什么三角形,若不共线,请说明理由.思路点拨要判断R、B、Q三点是否共线,可判断∠RBC与∠PBC的和是否等于180°.于是,我们以C点为中心,将△CAD逆时针旋转60°,这时A点与B点重合,D点与P点重合.不难证明∠RBQ+∠PBC=180°,故R、B、P三点共线,△PQR是等边三角形.证明连结BP,∵△ABC和△DPC都是等边三角形,∴AC=BC,DC=PC,又∠ACD=60°—∠DCB=∠BCP,∴△CAD≌△CBP.∴∠PBC=∠BAC=60°.又∠RBC=60°+60°=120°,∴∠RBC+∠PBC=180°.故R、B、P三点共线易知∠RAQ=60°+60°+60°=180°,R、A、Q三点共线.而△CAD≌△CBP,∴BP=AD=AE=AQ.∴RP=RQ,且∠R=60°,故△PQR是等边三角形.【例7】如图20-9,已知AD、BE、CF为△ABC外接圆的切线,AD、BE、CF分别交BC、AC、AB于D、E、F,求证:D、E、F共线.思路点拨连接DE、EF.∵AD是圆的切线,∴∠DBA=∠DAC,∠ADB=∠CDA,∴△DBA∽△DAC,∴ABACDBDADADC,∴22ABACDBDADADCDBDC,同理得22BCBAECEA,22ACBCFAFB,∴1222222ACBCBCBAABACFABFDBCDECAEFAFBECEADBDC.∴由梅氏定理的逆定理得:D、E、F三点共线.【例8】(1994年“祖冲之杯”初中竞赛)如图20-10,已知25DBAD,34CEAC.求FCBF的值.思路点拨由34CEAC得73EACE,在△ABC中,由梅氏定理得,1EACEFCBFDBAD,FCBF,故1514FCBF.学历训练1.(1996年江苏省初中竞赛题)如图20-11,如果ABCD是2×2正方形,E是AB的中点,F是BC的中点,AF与DE相交于I,BD和AF相交于H,那么四边形BEIH的面积是()A.31B.52C.157D.1582.(1996年武汉市初中竞赛题)在△ABC中,AD是中线,E在AB上,且AE=31AB,CE与AD交于F,则ACFDEFSS的值是.3.(“祖冲之杯”初中竞赛题)如图20-12,D、F分别是△ABC边AB、AC上的点,且AD:DB=CF:FA=2:3.求FDEF的值.4.如图20-13,已知P为△ABC内任意—点,连AP、BP、CP,并延长分别交对边于D、E、F,求证:1CFPFBEPEADPD.5.(1995年上海市初中竞赛题)已知P是△ABC内一点,AP、BP、CP的延长线分别交BC、AC、AB于点D、E、F,设AP=x,BP=y,CP=z,DP=EP=FP=d,若x+y+z=43,d=3.求x、y、z这三个数的乘积..(塞瓦定理的逆定理)设D、E、F分别是△BC三边BC、CA、AB内的一点.满足1FBAFEACEDCBD.求证:AD、BE、CF三线共点.7.证明:三角形三条高所在的直线共点.8.如图20-14,凸四边形ABCD的对角线互相垂直.过AB、AD的中点K、M分别引对边CD、CB的垂线KP、MT.证明:KP、MT、AC三直线交于一点..(1998年全国初中数学竞赛题)如图20-15,已知P为平行四边形ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB、PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:(1)P、Q、O三点在一条直线上;(2)PQ=2OQ.
本文标题:第三十七讲--点共线与线共点-
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