2017-2018学年高中数学-第一章-三角函数-第6节-三角函数模型的简单应用-新人教A版必修4

讲一讲1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6.(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？[尝试解答](1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t＝0时，s＝6sinπ6＝3，所以此时离开平衡位置3cm.(3)离开平衡位置6cm.(4)因为T＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．练一练1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t＝0时，E＝1103(V)，即开始时的电压为1103V.(2)T＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为2203V，当100πt＋π6＝π2，即t＝1300s时第一次取得最大值．讲一讲2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数p(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[尝试解答](1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝2π|ω|，可得T＝2π160π＝180(min)，所以函数p(t)的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1T＝80(次)．(3)列表：t0132011603320180p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．练一练2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.+(1)求h与θ间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故B点坐标为4.8cosθ－π2，4.8sinθ－π2.∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故ts转过的弧度数为πt30.∴h＝5.6＋4.8sinπ30t－π2，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由sinπ30t－π2＝1，得π30t－π2＝π2＋2kπ，k∈N，∴tmin＝30(s)．即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．讲一讲3．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据．t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[尝试解答](1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝Acosωt＋b，并且周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.∴A＝0.5，b＝1.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪爱好者开放，∴12cosπ6t＋11.∴cosπ6t0.∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3t12k＋3(k∈Z)．①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．练一练3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－π2，故y＝4sin5π2t－π2，即y＝－4cos5π2t.答案：y＝－4cos5π2t———————[课堂归纳·感悟提升]———————1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤(1)审清题意读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．(3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．(4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案．