2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件2(2)：函数的图像与性质

§2函数的图象与性质真题热身1．(2011·山东改编)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的_____________条件．解析若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件．必要不充分2．(2011·大纲全国改编)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－52)＝________.解析∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(－52)＝f(－52＋2)＝f(－12)＝－f(12)＝－2×12×(1－12)＝－12.－123．(2011·课标全国改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填序号)①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|.解析∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴①不对．y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故③不对．④中y＝2－|x|＝(12)|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有②对．②4．(2011·湖北改编)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.解析∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝154.154考点整合1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x1)－f(x2)x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x1)－f(x2)x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性的结论(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)y＝f(x)在x∈R时，恒有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±1f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.5．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．分类突破一、函数的概念例1已知函数y＝f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x＝1}中所含元素的个数为________．解析这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y＝f(x)，x∈F的图象与直线x＝1的交点个数，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“唯一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应关系三要素组成的．这里给出了函数y＝f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1∈F时没有交点．0或1归纳拓展1.根据函数的概念可以知道：(1)函数图象与任意一条与x轴垂直的直线至多有一个公共点，但与任意一条与y轴垂直的直线的公共点可能没有，也可能有任意个；(2)函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象．2．解决分段函数的问题时，最关键的是根据自变量的分段情况选择相对应的函数解析式．解不等式或者求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式(组)求解，然后取这些不等式(组)解集的并集．研究分段函数的最值(或值域)问题时，应先分段进行，再整体进行判断．变式训练1(2010·天津)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝g(x)＋x＋4，xg(x)，g(x)－x，x≥g(x)，则f(x)的值域为______．解析由xg(x)得xx2－2，∴x－1或x2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝x2＋x＋2，x－1或x2，x2－x－2，－1≤x≤2.即f(x)＝(x＋12)2＋74，x－1或x2，(x－12)2－94，－1≤x≤2.当x－1时，f(x)2；当x2时，f(x)8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．答案[－94，0]∪(2，＋∞)二、函数的图象变换例2已知f(x)＝，则下列函数的图象错误的是________(填序号)．]1,0[,1)0,1[,12xxxx解析函数f(x)＝的图象如图所示．函数f(x－1)的图象只需将y＝f(x)的图象向右平移一个单位，故①正确；函数f(－x)的图象只需将y＝f(x)的图象关于y轴对称，故②正确；函数f(|x|)的图象只需将y＝f(x)的图象y轴右侧图象不变，左侧部分图象与右侧部分关于y轴对称，故③正确；由于函数f(x)＝恒大于等于零，故|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象相同，故④错误．]1,0[,1)0,1[,12xxxx]1,0[,1)0,1[,12xxxx答案④归纳拓展在处理函数图象的题目时，要注意四种变换规律：(1)平移变换：y＝f(x)—————→h0，右移h0，左移y＝f(x－h)；y＝f(x)—————→k0，上移k0，下移y＝f(x)＋k.(2)对称变换：y＝f(x)y＝－f(x)；y＝f(x)y＝f(－x)；y＝f(x)y＝f(2a－x)；y＝f(x)y＝f－1(x)；y＝f(x)y＝－f(－x)．关于x轴关于y轴关于直线x＝a关于直线y＝x关于原点(3)翻折变换：y＝f(x)——————————————————————→保留y轴右边图象，并作关于y轴的对称图象去掉y轴左边图象y＝f(|x|)；y＝f(x)————————————→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.(4)伸缩变换：y＝f(x)———————————————→a1，横向缩短到原来的0a1，横向伸长到原来的y＝f(ax)；y＝f(x)——————————————→a1，纵向伸长到原来的a倍0a1，纵向缩短到原来的a倍y＝af(x)．a1a1变式训练2已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．图1图2①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝f(－|x|)；④y＝－f(－|x|)．解析由图象的变化知，原图保留了y轴左边的部分，并把y轴左边的部分关于y轴对称到y轴右边．①中，当x0时，y＝f(|x|)＝f(x)，当x0时，y＝f(－x)，所以应是把y轴右边部分对称到y轴左边，故①错．②项中是把x轴下边部分对称到x轴上边，故②错．③项中当x0时，y＝f(－|x|)＝f(－x)，当x0时，y＝f(－|x|)＝f(x)，因此保留了y轴左边部分，并把左边部分对称到y轴右边，故③对．答案③三、函数性质及应用例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________________．解析设x0，则－x0.f(－x)＝(－x)2，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2.∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(2x)．故f(x＋t)≤2f(x)＝f(2x)⇔x＋t≤2x在[－2－2，2＋2]上恒成立，由于x＋t≤2x⇔(2－1)x≥t，要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t⇒t≤－2即可．(－∞，－2]归纳拓展本题的难点是把2f(x)变为f(2x)，从而利用函数单调性“脱掉”符号“f”，转化为一个简单的不等关系．本题尽管是具体函数，但方法类似于抽象函数．抽象函数的综合题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程序较高，解题时需要把握好如下三点：一是注意定义域的应用；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“符号”；三是利用函数的单调性去掉函数符号“f”，然后再求解．变式训练3已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为___________．解析易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)0⇒f(mx－2)－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2－x⇒Δ＋x－20，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f(m)＝xm＋x－2，此时只需f(－2)0f(2)0即可，解之得－2x23.(－2，23)四、函数的性质与图象的综合应用例4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.－8归纳拓展数形结合法解决抽象函数问题的关键是根据给出的抽象函数性质，推证这个抽象函数图象的对称性、周期性等，再根据函数图象的这些性质逐步把部分区间上的图象进行拓展，在解题时要注意推理论证严谨，图象的特征图合理．变式训练4函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，如图所示，