相似三角形精选好题-证明题25题

第1页，共25页相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴=𝐵𝐶=20𝑐𝑚，𝐴𝐶=30𝑐𝑚，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．(1)𝑥为何值时，𝑃𝑄//𝐵𝐶；(2)是否存在某一时刻，使△𝐴𝑃𝑄∽△𝐶𝑄𝐵？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；(3)当𝑆△𝐵𝐶𝑄𝑆△𝐴𝐵𝐶=13时，求𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐴𝐵𝑄的值．2.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，𝐷是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△𝐴𝐹𝐸∽△𝐵𝐶𝐸．3.如图，已知四边形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，∠𝐴𝐷𝐶=90∘，𝐴𝐵=6，𝐶𝐷=4，𝐵𝐶的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠𝐴=60∘，求BC的长；(2)若sin𝐴=45，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)第2页，共25页4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC边上，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵.点E在AD边上，𝐶𝐷=𝐶𝐸．(1)求证：△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐴𝐸；(2)若𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=92，𝐵𝐷=2，求AE的长．5.如图，在四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐸=2𝐸𝐵，𝐴𝐷=2，𝐵𝐶=5，𝐸𝐹//𝐷𝐶，交BC于点F，连接AF．(1)求CF的长；(2)若∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐹𝐴𝐵，求AB的长．6.如图，在锐角三角形ABC中，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，𝐴𝐵上，𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，𝐴𝐹⊥𝐷𝐸于点𝐹，∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐺𝐴𝐶．(1)求证：△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶；(2)若𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=5，求𝐴𝐹𝐴𝐺的值．第3页，共25页7.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，点D是BC边的中点，𝐶𝐷=2，tan𝐵=34．(1)求AD和AB的长；(2)求sin∠𝐵𝐴𝐷的值．8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，CD为角平分线，∠𝐴=40∘，∠𝐵=60∘，求证：CD为△𝐴𝐵𝐶的完美分割线．(2)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=48∘，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的完美分割线，且△𝐴𝐶𝐷为等腰三角形，求∠𝐴𝐶𝐵的度数．(3)如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=√2，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的完美分割线，且△𝐴𝐶𝐷是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．第4页，共25页9.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30∘，测得大楼顶端A的仰角为45∘(点𝐵，𝐶，𝐸在同一水平直线上)，已知𝐴𝐵=80𝑚，𝐷𝐸=10𝑚，求障碍物𝐵，𝐶两点间的距离(结果精确到0.1𝑚)(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)10.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度BC为√5米，tan𝐴=13，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长.(结果保留根号)11.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60∘.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度𝑖=1：√3，𝐴𝐵=10米，𝐴𝐸=15米.(𝑖=1：√3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)第5页，共25页12.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=16𝑐𝑚，𝐵𝐶=8𝑐𝑚，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4𝑐𝑚/𝑠，𝑄点的运动速度为2𝑐𝑚/𝑠，那么运动几秒时，△𝐴𝐵𝐶和△𝑃𝐶𝑄相似？13.如图所示，∠𝐶=90∘，𝐵𝐶=8𝑐𝑚，𝐴𝐶=6𝑐𝑚，点P从点B出发，沿BC向点C以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△𝐴𝐵𝐶相似？14.如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45∘，顶部的仰角为37∘，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1𝑚)参考值：sin37∘=0.60，cos37∘=0.80，tan37∘=0.75．第6页，共25页15.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30∘，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(𝐶，𝐸，𝐵三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60∘，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.(√3≈1.73，结果精确到0.1米)16.已知：如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠𝐴𝐷𝐸=60∘．(1)求证：△𝐴𝐵𝐷∽△𝐷𝐶𝐸；(2)如果𝐴𝐵=3，𝐸𝐶=23，求DC的长．17.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角𝛼=30∘，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角𝛽=60∘，求树高𝐴𝐵(结果保留根号)第7页，共25页18.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设N、M为该岛的东西两端点)最近距离为15海里(即𝑀𝐶=15海里)，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东57∘方向(其中N、M、C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离.(精确到0.1海里)参考数据：sin57∘=0.84，cos57∘=0.54，tan57∘=1.54．19.探究证明：(1)如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐷上，𝐴𝑀⊥𝐵𝑁，求证：𝐵𝑁𝐴𝑀=𝐵𝐶𝐴𝐵．(2)如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，𝐸𝐹⊥𝐴𝑀，𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷于点E、点F，试猜想𝐸𝐹𝐴𝑀与𝐵𝐶𝐴𝐵有什么数量关系？并证明你的猜想．拓展应用：综合(1)、(2)的结论解决以下问题：(3)如图3，四边形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐷=10，𝐵𝐶=𝐶𝐷=5，𝐴𝑀⊥𝐷𝑁，点𝑀，𝑁分别在边𝐵𝐶，𝐴𝐵上，求𝐷𝑁𝐴𝑀的值．20.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角∠𝐵𝐸𝐹的度数为45∘，测得旗杆顶端A的仰角∠𝐴𝐸𝐹的度数为17∘，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离第8页，共25页BC为9m，求旗杆的高度(结果精确到0.1𝑚)．【参考数据：sin17∘=0.29，cos17∘=0.96，tan17∘=0.31】21.已知，如图，在四边形ABCD中，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，延长AD、BC相交于点𝐸.求证：(1)△𝐴𝐶𝐸∽△𝐵𝐷𝐸；(2)𝐵𝐸⋅𝐷𝐶=𝐴𝐵⋅𝐷𝐸．22.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠𝐸𝐷𝐹的两边分别与边𝐴𝐵，𝐴𝐶交于点E、F，且∠𝐸𝐷𝐹与∠𝐴互补．(1)如图1，若𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；(2)如图2，若𝐴𝐵=𝑘𝐴𝐶，𝐷为BC的中点时，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；(3)如图3，若𝐴𝐵𝐴𝐶=𝑎，且𝐵𝐷𝐶𝐷=𝑏，直接写出𝐷𝐸𝐷𝐹=______．第9页，共25页23.放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝.如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30∘，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45∘.已知点𝐴，𝐵，𝐶在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？(风筝线𝐴𝐷，𝐵𝐷均为线段，√2≈1.414，√3≈1.732，最后结果精确到1米)．24.禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45∘方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30∘方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．25.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30∘方向，在C地北偏西45∘方向，C地在A地北偏东75∘方向.且𝐵𝐶=𝐶𝐷=20𝑘𝑚，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(最后结果保留整数，参考数据：sin15∘≈0.25，cos15∘≈0.97，tan15∘≈第10页，共25页0.27，√2≈1.4，√3≈1.7)第11页，共25页答案和解析【答案】1.解：(1)由题意知𝐴𝑃=4𝑥，𝐶𝑄=3𝑥若𝑃𝑄//𝐵𝐶则△𝐴𝑃𝑄∽△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑃𝐴𝐵=𝐴𝑄𝐴𝐶，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=20，𝐴𝐶=30，∴𝐴𝑄=30−3𝑥，∴4𝑥20=30−3𝑥30，∴𝑥=103，∴当𝑥=103时，𝑃𝑄//𝐵𝐶．(2)存在∵△𝐴𝑃𝑄∽△𝐶𝑄𝐵则𝐴𝑃𝐶𝑄=𝐴𝑄𝐶𝐵，∴4𝑥3𝑥=30−3𝑥20，∴9𝑥2−10𝑥=0，∴𝑥1=0(舍去)．𝑥2=109．∴当AP的长为109时，△𝐴𝑃𝑄∽△𝐶𝑄𝐵，(3)∵𝑆△𝐵𝐶𝑄𝑆△𝐴𝐵𝐶=13，∴𝐶𝑄𝐴𝐶=13，又∵𝐴𝐶=30，∴𝐶𝑄=10，即3𝑥=10𝑥=103，此时，𝐴𝑃=4𝑥=403，∴𝐴𝑃𝐴𝐵=40320=23．∴𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐴𝐵𝑄=𝐴𝑃𝐴𝐵=23．2.证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是BC中点，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐷𝐶=90∘，∴∠𝐹𝐴𝐸+∠𝐴𝐹𝐸=90∘，∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐸𝐶=90∘，∴∠𝐶𝐵𝐸+∠𝐵𝐹𝐷=90∘，∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐷，第12页，共25页∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐸，∴△𝐴𝐹𝐸∽△𝐵𝐶𝐸．3.解：(1)∵∠𝐴=60∘，∠𝐴𝐵𝐸=90∘，𝐴𝐵=6，tan𝐴=𝐵𝐸𝐴𝐵，∴∠𝐸=30∘，𝐵𝐸=tan60∘⋅6=6√3，又∵∠𝐶𝐷𝐸=90∘，𝐶𝐷=4，sin𝐸=𝐶𝐷𝐶�