几何证明题集-R10-1

203（2）纯粹性：在l上任取一点P，以P为球心，作球()PR。Pl，''l，'且相距R，'且相距R，P到、的距离均为R。因此，球()PR同时切于、，故P点符合条件。由（1）、（2）知，P点的轨迹就是直线l。注：直线l在(,)的平分面上。4.27求介于两平行平面间的线段中点的轨迹。题设：平面平面，iP是线段iiAB的中点iA，iB，i1，2，3……求：iP点的轨迹。探求：在平面几何中，有：夹于两平行线之间的线段中点的轨迹是两平行线的公垂线的中垂线。推广至立体几何中，不难想到，iP点的轨迹应是与的公垂线的中垂面。证明：作与的公垂线的中垂面下（即作与、等距的平面）。（1）完备性：作iiPC于iC，iiPD于iD。，iiiPCD、、三点共线且iiPC∶iiPDiiPA:iiPB1:11。iiPCiiPD即是iP点为二平面、的公垂线iiCD的中点，iP点平面。（2）纯粹性：在平面上任取一点iP，过iP作、的公垂线iiCD，iP，iiPCiiPD。随之得iiPAiiPB，即iP是iiAB的中点。iP是符合条件的。由（1）、（2）知，iP的轨迹就是平面。4.28求分介于两平行平面间的线段成定比之点的轨迹。题设：平面平面，iA，iB，iP是线段iiAB定比k分点i1，2，3……求：iP点的轨迹。探求：当把平面、换成两直线ab、时，我们知道iP点的轨迹是垂直ab、公垂线于其定比分点的一直线。对于本题，应有iP点的轨迹是垂直、公垂线于其定比分点的一平面。证明：作垂直、公垂线于其定比k分点的一平面，即作一平面，使与、距离之比为k。（1）完备性：作iiPC于iC，iiPD于iD。，iiiCPD、三点共线。因此iiCD为过iP的、的公垂线。连iiAC、iiBD，题图4-27题图4-28204则△iiiCP∽A△iiiPBP。::iiiiiiiiPCPDPAPBk。因此iP平面。（2）纯粹性：在平面上任取一点iP，过iP作一直线l，设l被、所截线段为iiAB，又过iP作、的公垂线iiCD，连iiiiACBD、，则有△iiiCAP∽△iiiDBP。iiiiPAPB:iiiiPCPDk:，即iP为iiAB的定比k分点。因此iP是满足条件的。由（1）、（2）知，iP点的轨迹是平面。4.29求分介于两相交平面间的一组平行线段成定比之点的轨迹。题设：平面平面直线a，l为一不平行、的定直线，线段iiABl且介于、间，iP是iiAB的定比k分点，il、2、3……求：iP点的轨迹。探求：当把平面、替换成两条相交于O的直线，则iP点的轨迹是一条过O的直线且分定向线段iiAB于定比k分点。对于本题不难想到，iP点的轨迹很可能是过a的一平面且分定向线段11AB于其定比k分点1P。证明：作一介于、间的定向线段11AB，取1P为11AB的定比k分点。又过11aP、作平面。（1）显然1P。下面证明iP，j2，3……∵jjAB11AB，jA、jB、1A、1B四点共面。因此，1jAA与1jBB相交或平行。①若111jjjjABBBC，则易得1jC。∵由平面几何定理得知：1jC、1jPP、三点共线，∴11jjPPC。又11jPC平面，jP平面。②若1jAA∥1jBB，则易得1jPP∥a，因此jP平面1P。即jP平面，故jP平面。（2）纯粹性：在平面上任取一非1P点jP，j2，3，……，过jP作一线段jjAB∥l且介于、间。∵jjAB∥11AB，∴jjAB、、11AB、四点共面。因此，1jAA与1jBB相交或平行。①若1jAB1jBB1jC，则易得1jC,a随之得1jC、1PPj、三点共线，∴jjjjAPBP:1111APBPk:。因而，此时jP是1jAB的定比k分点。②若1jAB1jBB，则易得111jjjPPABAB及。∴1111jjjjAPBPAPBPk::。题图4-29205从而得此时jP是jjAB的定比k分点。故平面上任取一点jP①符合条件。总结（1）、（2）所证，确知jP点的轨迹是平面，但直线a为极限线。注：若iP不限定为iiAB的内分点且是1k，则iP点的轨迹是两个过a的平面。4.30求到两平行平面的距离成定比的点的轨迹。题设：平面平面，iP点到、距离成定比k，i1，2，3……求：iP点的轨迹。探求：若把两平行平面、换成两条平行线ab、则iP点的轨迹为两条平行于a及b的直线且分居在ab、内侧与外侧，一条内分公垂线于定比分点，另一条外分公垂线于定比分点。回到本题上来，我们自然会想到iP点的轨迹是两个平行平面'、，分别内、外分、的公垂线于定比内、外分点，且'、，、互相平行。证明：任作ab、的公垂线11AB，又作11AB的定比k的内、外分点11'PP、，再作平面过1P且∥及，平面'过1'P且'∥或。（1）完备性：过iP2j（，3，……）作、公垂线jjAB。，11jjABAB，因此1jPP或1jPP∥1jAA。1jPP或1jPP∥或'。又11,''PP，jP或'。故有jP，1''P。（2）纯粹性：在平面上任取一非1P点jP（j＝2，3……），过jP作、的公垂线jjAB。11AB∥jjAB，，1PjP，1jAA∥1PjP∥ijBB。因此，jAjP:jBjP1111==APBPk:，即jP点符合条件。上任一点jP符合条件，同理可证平面'上任一点符合条件。综合（1）、（2）所证，知iP点的轨迹是两平行平面'、。讨论：若是1k，则轨迹只有一个平面，在理论上，另一平面'在无穷远处。4.31求到两相交平面的距离成定比的点的轨迹。①1P显然符合条件。题图4-30206题设：平面平面直线l，P是一动点且满足P到、距离之比为定值k。求：P点的轨迹。探求：在平面几何中，到两相交直线的距离成定比的点的轨迹是过两已知直线交点的两直线。推广至立体几何中，P点轨迹则应是过直线l的两平面'、。证明：在平面、的两侧，各作一点11'PP，使其至、距离之比均为定值k，又过a、1'P和a、1'P各作平面、'。（1）完备性：假设P不在')、(上，但与1P同在()、内。过P引、的垂线PAPB、，设'PAP，又过'P引的垂线''PB。'P，'''PAPB：sin()sin()、：、。又1P，''P，1P至、距离之比sin()sin()k、：、。因此'''PAPBkPAPB：：，即'''PAPBPAPBk：。在两△PAB和△''PAB中，有''APBAPB，△PAB∽△''PAB。因此''BAPBAP，显然这是不成立的，由于''APPB、、、、B在同一个平面内。故P必在（或'）上不合条件。（2）纯粹性：在上任取一点P，则P至、距离之比为sin()sin():、、。又∵11,''PP，∴1P至、距离之比sin()sin()k、、。因此P至、距离之比为k。故平面'、上任一点合条件。根据（1）、（2）所证，P点的轨迹就是平面'、，但l为极限线。4.32求到三面角三面的距离之比等于三个已知数之比的点的轨迹。题设：三面角SABC中，P是一动点且满足P到三面SBC、SCASAB、距离之比为mnk。mnk、、为三已知数。求：P点的轨迹。探求：由P引三面SBC、SCASAB、的垂线PDPE、、PF，则有PDPEPFmnk：：：：，题图4-31207若我们放弃其它而保留“PEPF：nk：”这个条件，由上题知，P的轨迹是过PA的两平面、'；若保留的是“PFPDkm：：”这个条件，则P的轨迹是过PB的两平面2，2。由此可见，P的轨迹应是四直线12，12'，12'，12''。证明：设到面SCASAB，的距离之比成定比nk:的点的轨迹是两平面11'、，到面SAB、ABC的距离之比成定比km：的点的轨迹是两平面22'、，又设12直线1,l12'直线2l，12'直线3l，12''直线4l。（1）完备性：PEPFnk，由上题知1P或1'，同理可得2P或2'。因此12P或12'或12''或12''，即1Pl或2l或3l或4l。（2）纯粹性：在1l或2l或3l或4l上任取一点P，作PD面SBC于D，PE面SCA于E，PF面SAB于F，则PEPFnk，PFPDkm。∴PDPEPFmnk，因此P点合条件。根据（1）、（2）可知，P点的轨迹是共S点的四直线1234llll、、、。但S为极限点。4.33求到一定线段AB的距离等于定长r的点的轨迹。题设：AB是一定线段，P是一动点且P至AB的距离POr（定长）。求：P点的轨迹。探求：当一合条件的点P绕线AB旋转一周时，形成一圆周()Or，其上任一点是合条件的，又将()Or以AB为轴平动时，形成一圆柱面，其上的点都合条件。此时我们会想到，P点的轨迹很可能是以AB为轴，r为半径的圆柱面F。证明：（1）完备性：过P作一平面AB于O，设截圆柱面F得圆周O，则O的半径为r（由圆柱定义可得）。PO，AB于O，POAB于O。因此POr（P至AB距离为r）。∴必有P()Or。又∵()OrF，故PF。（2）纯粹性：在F上任取一点P，则d（P，AB）r，因此，P点合条件。由（1）、（2）可知，P点的轨迹就是以AB为轴，r为半径的圆柱面F。4.34给定一直线AB，通过点A引诸直线与AB成定角，并在其上于A的两侧截取定题图4-33题图4-32208长线段求其端点的轨迹。探求：设P就是合条件的端点，AP与AB直线成定角，且APl（定长）。过P作POAB于O，则PAO。sinOPAP，cosOAAP。因此sinOPl，OAcosl。由此可见，P在AB上的射影是确定的点O，且P至AB的距离为定长sinl，故P的轨迹可能是中心在AB上且所在平面垂直于AB的两圆。证明：在直线AB上求两点O、'O，使'AOAOsinl，过O、'O作平面'、，使垂直于AB，又作两圆O(sin)l、'O(sin)l。（1）完备性：过P作1POAB于1O。111,sinsin,sinPAOOPAPlAOl。又'cos,AOAOlABO于，''ABO于，1O合于O或'O且1OP或'。又O(sin)l，'O(sin)'l，PO(sin)l或'O(sin)l。（2）纯粹性：在O(sin)l或'O(sin)l上任取一点P，连PO或'PO。POsinl或'POsinl，'AOAOsinl。又POO(sin)l或'O(sin)l，O(sin)lAB，'O(sin)l'AB，22APAOOP或22''AOOP即：22(sin)(cos)APlll。因此'sinsinsin'sinOPOPPAOPAOAPAP或。PAO或'PAO。故P是符合条件的点。从（1）、（2）可知，P点的轨迹应是两圆O(sin)l，'O(lsin)。讨论：若90，则O(sin)l与'O(lsin)合二为一，因此可见P点的轨迹应是一圆。4.35给定半径为R的球，从一点M引三条切线适为三直三面角的棱，求M的轨迹。探求：设定球为()OR，由M引球()OR三切线MAMB、、MC，ABC、、为切点。我