几何证明题集-R13

245第五章空间几何变换...........................................................................................2455.1图形的相等.............................................................................................2455.2运动........................................................................................................2465.3反射或对称变换......................................................................................2495.4合同变换.................................................................................................2515.5反演变换.................................................................................................252解题示例..................................................................................................255245第五章空间几何变换5.1图形的相等定理1在相等图形中，1．与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线；2．两相交直线的交角等于两条对应线的交角；3．与共面点对应的是共面点，从而平面的相等图形是平面；4．对应的二面角相等；5．对应的三面角相等；6．对应的四面体相等。证：设F和F是相等图形，同名的符号表示相互对应的元素点。1．和2．略。3．设F的共面四点A、B、C、D与F的四点ABCD、、、对应。由2．，对应的三角形合同，对应的角相等：ADBADBADCADC，，BDCBDC，……若ABCD、、、不共面，则是一四面体的顶点，于是对于三面角DABC得：ADBADCBDCADBADC，4ADBADCBDCd。从而类似的不等式对于A、B、C、D也得成立。但由于A、B、C、D共面，不论它们在平面上如何布列，类似于上面的不等式总有一个不会成立。事实上，ABC各边所在直线将平面分成七个区域，例如当D在ABC内部时，则有：4ADBADCBDCd；而当D在A的对顶角区内时，则有：BDCADBADC；其余类推，所以证明了ABCD、、、必共面。反过来，若ABCD、、、不共面，则ABCD、、、也不共面。4．由于距离不变，容易证明二面角相等。5．由3．，三面角的对应图形仍是三面角。由2．，对应的三个面角相等，所以对应的三面角相等。2466．因为对应的梭、面角、二面角、三面角各相等。图形相等的两种情况从平面几何我们知道，两个相等图形中，若有两对对应点A和A重合，B和B重合，则任何第三对对应点C和C或相重合，或对称于重合直线AB。在前一场合，两图形F和F称为全（相）等，两图形有相同转向；在后一场合，F和F称为镜照相等，两图形有相反转向。现在推广于空间相等图形F和F。倘若F有不共线三点ABC、、分别跟F中的对应点A、B、C重合，则任何第四对对应点D和D或相重合或对称于平面ABC（即这平面是线段DD的垂直平分面）（图5-1）。因若DD、不重合，则A、B、C三点都距DD、等远，因而在DD的中垂面上。这时，对应的四面体ABCD、、、和ABCD相等（定理1，6．）。当底面ABC重合于底面ABC以后，若D和D在平面ABC同侧，则相重合；若在异侧则相对称。在前一场合，两四面体转向相同，在后一场合则相反。前者称为全（相）等，后者称为镜照相等或对称。因此，在两全等图形中，对应的距离、角、二面角、三面角、四面体相等，而且对应的转向相同；两个对称图形，对应的距离、角、二面角、三面角、四面体相等，但转向相反。若F有不共面四点A、B、C、D与其相等图形F的对应点ABCD、、、分别重合，则第五对对应点EE、只能重合。否则，由上所说，E和E将对称于平面ABC，且因DEDE，那么D将在EE的中垂面ABC上了，这与A、B、C、D不共面的假设抵触。所以我们证明了。定理2两个相等的空间图形中，若有不共线的三对对应点相重，则此两图形叠合或相对称。若再有跟这三对点不共面的第四对点相重，便点点相重，因而两图形叠合。两个全等的空间图形，只要有三对不共线的对应点分别相重便完全叠合了。两个全等图形可以看作同一图形在空间所占的两个位置。5.2运动①设有两个相等且转向相同的图形，即是说两个全等图形，我们说其中一个可从另一个①或称移动、位移、移置。题图5-1247通过运动得到。即是说，两全等图形因运动而叠合。空间的运动有平移，旋转，半周旋转（轴反射）和螺旋运动。1．平移跟平面几何一样，平移由一个向量决定。平移是运动。两个平移的乘积是一个平移。平移的逆是平移。定理3除幺变换①外，平移没有二重点，但有无穷多的二重线与二重面，即平行于平移方向的一切直线和平面。这些直线和平面上没有任何二重点，但各直线和平面却没有变动。2．旋转设给定一直线s，并于其上取一正向，通过图形F上任一点M作平面s（图5-2），交s于0M；定一点M作为M的对应点使满足条件：（1）M在平面上；（2）00MMMM；（3）0MMM定角；则当点M在F上变动时，点M所形成的图形F称为由F线过旋转()s、得来。s称为旋转轴，定角称为旋转角。关于旋转的方向规定如下：右手握拳，拇指指向轴上的正方向，则当为正角时，其他四指指着从射线0MM到0MM的方向，如图5-2所示；当为负，旋转与此反向，所以给定了，旋转的方向由轴上的正向所决定。旋转()s、和(2)sk有同样的作用，不论k为何整数，()s所表示的旋转是幺变换。在一个与轴垂直的平面上，便得出平面几何上所讲的绕一点的旋转。定理4旋转是运动。定理5旋转()s和()s的积是一个旋转()s。—个图形经运动后与自己重合的变换，称为“幺变换”即任何一点没有改变原来的位置。定理6旋转()s的逆是旋转()s，。定理7除幺变换外，旋转有无穷多个二重点，即旋转轴上的一切点。若2d，则旋转有一条二重直线即旋转轴，有无穷多二重面即垂直于轴的一切平面。当2d时，情况见下。3．半周旋转（轴反射）①—个图形经运动后与自己重合的变换，称为“幺变换”即任何一点没有改变原来的位置。题图5-2248在旋转运动中，若2d，则每一点M绕旋转动转动半圆周，从而M与其对应点M关于轴s成对称（图5-3），这样的旋转(2)sd称为关于s的半周旋转或轴反射。轴反射既是一个特殊旋转，它就是一个运动，即将一图形变换为一全等图形。轴反射的逆变换就是它自身，因为M的反射点是MM，的反射点是M。轴反射有无穷多二重点，即反射轴上的所有点；它有无穷多二重线，即反射轴以及跟反射轴垂直且相交的一切直线；它有无穷多二重面，即垂直于轴以及通过轴的一切平面。注意：平面上的轴反射是个对称变换，一般是要改变图形的转向的（除非原图形是一个对称图形，就以反射轴为其对称轴），所以不是运动。而在空间，轴反射是180的旋转，是不改变图形的转向的，是个运动。4．螺旋运动—个旋转R跟—个平行于旋转轴的平移T的乘积，称为螺旋运动。由于旋转轴平行于平移的方向，这两个运动的顺序不影响乘积，即TRRT。事实上，倘若先旋转后平移；点M经过1M到达M（图5-4）；倘若先平移后旋转，点M经过2M也到达M。螺旋运动由平移和旋转组成，并包含平移和旋转作为特款。当旋转角为零时，螺旋运动只是一个平移，当平移的距离为零时，就只是一个旋转；当二者都为零时便得幺变换。由于平移和旋转都把一个图形变为与它全等的图形，所以有：定理8螺旋运动是运动。定理9螺旋运动的逆也是螺旋运动。事实上，要把点M送回到M，可先平移到1M，再旋转到M，构成逆变换的平移和旋转，分别是原先的平移和旋转的逆。定理10非单一平移或旋转的螺旋运动没有二重点；但有一条二重线，即螺旋运动的轴；若旋转角2d，则螺旋运动没有二重面，但若2d，则通过轴的平面都是二重面。给了两个全相等的图形F和F，要将它们叠合，由定理2，只须叠合三对对应点AABBCC、；、；、。作平移TAA，则A重合于A。设11()()TBBTCC，，则11()TABCABC。取平面1BAB在点A的法线为轴经过一次旋转R使1B重合于B，设12()RCC，则2()RTABCABC。最后再经过一次绕AB为轴的旋转，便将ABC重合于ABC了。所以有：定理11任意两个全等图形可以通过一个平移继以两个旋转使相重合，这两旋转的轴题图5-3题图5-4249是相交的。可以证明，两个全等图形可以通过一个螺旋运动使相叠合。5.3反射或对称变换上面介绍了轴反射或半周旋转。这是一个运动，既保留距离，又保留空间图形的转向。此地再介绍两种反射变换或对称变换。1．面反射给定一平面（图5-5），从空间一点M作00MMM，表垂足，并延长0MM至M，使00MMMM，则M的对应点M称为M关于的对称点或镜象。当M描绘一图形F时，M描绘一图形F，称为F关于的对称图形或镜象。从F得到F的这个变换称为关于的镜照反射或面反射，称为反射面。显然，两点的连线段等于它们对应点的连线段。所以F和F是相等图形。但三面角和四面体的镜象改变了转向。所以F和F是镜照相等或对称而不是全相等。定理12一个面反射的逆是它自身。定理13一个面反射与其自身的乘积是幺变换。定理14面反射以反射面上的点为二重点；以反射面上的以及与反射面垂直的直线为二重线；以反射面以及垂直于反射面的平面为二重面。由于每一面反射改变了转向，所以：定理15两个面反射的乘积是一个运动。定理16设平面12，则关于1和2的两个面反射之积等于一个平移。证：从任一点M作直线与1、2垂直，跟它们相交于1M、2M（图5-6）。以M表示M关于1的对称点，以M表示M关于2的对称点。不论M在空间什么位置，应用有向线段的加法恒有：1212222MMMMMMMMMMMM。所以，关于二平行面1和2的两个反射之积等于平移122MM。平移方向是1、2的法线方向，平移的距离是平行面间距离的两倍。系每个平移可看作两个面反射之积，两反射面互相平行且垂直于平移的方向，并且其中一平面可任意选取，第二个反射面便随之而定。定理17设两平面1和2相交于一直线s，则关于1和2的两个面反射之积是一个旋转，以s为旋转轴，以12、夹角的2倍为旋转角。题图5-5题图5-6250系每一旋转可看作等于两个面反射之积，两反射面通过旋转轴，其夹角是旋转角的一半，并且其中一个反射面可以任意选取，第二个反射面便随之而定。定理17及系不难仿照定理16及系加以证明，留给读者。这两个定理和系在平面几何的情况，是完全相仿的。这两个定理和系告诉我们这样一个值得注意的事实，即运动可以看作反射变换的乘积。2．（中）心反射设两点M、M以O为中点，则两点M、M对称于O，O称为对称中心或反射中心。当O为定点而M在一图形F中变动时，M的对称点M所形成的图形F称为F关于O的对