几何证明题集-R8

152第三章旋转体...............................................................................................152一、旋转面、旋转体的概念............................................................................1523.1旋转面、旋转体的概念....................................................................1523.2圆柱、圆锥、圆台...........................................................................1523.3球的概念及其性质...........................................................................154二、旋转面的面积...........................................................................................1563.4圆柱、圆锥、圆台的侧面积............................................................1563.5球面和它部分的面积.......................................................................158三、旋转体的体积...........................................................................................1603.6根据祖暅原理求旋转体的体积.........................................................160解题示例...........................................................................................163152第三章旋转体一、旋转面、旋转体的概念3.1旋转面、旋转体的概念一平面曲线绕它所在平面上一条已知直线旋转，所有可能位置的曲线集合，叫做旋转曲面。已知直线叫做它的轴，由轴出发的半平面与旋转曲面的交线（在各个位置的曲线）叫做它的子午线，垂直于轴的平面与旋转曲面的交线叫做它的平行圆。如果已知平面曲线是封闭的，或者曲线的始点、终点都在轴上（这时加上始点、终点间的线段就成为闭的），则它们旋转所成的旋转曲面是封闭的。封闭的旋转曲面围成的空间部分，叫做旋转体。旋转面的轴也叫做旋转体的轴。例如：平面上的圆绕与圆不相交的轴旋转所成的旋转曲面叫做环面，环面围成的空间部分，就是环体。在实际中，旋转体是很多的，例如车床车出的机械部件等。本章中我们来研究各种常见的旋转体。3.2圆柱、圆锥、圆台1．圆柱的概念和性质矩形以一边为旋转轴，旋转所成的旋转体，叫做直圆柱体，简称圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴，矩形垂直于轴的两边旋转所成的圆面，叫做圆柱的底面，两底面间的距离叫做圆柱的高。由矩形平行于轴的边旋转所成的曲面叫做圆柱的侧面。矩形在侧面上各个位置的边叫做圆柱的母线（也可看成是子午线）。显然，圆柱也可以看做是圆柱面与垂直于轴的两个平行平面所围成的空间部分。根据圆柱的概念，圆柱有下面的性质：（1）圆柱的两个底面是相等的圆，它们所在的平面平行。（2）圆柱的母线平行且相等，并且等于圆柱的高（如图3-1中的1111AABBCCOO）。（3）过圆柱的轴的平面，截圆柱所得的截面是一矩形11()AABB称为轴截面。11AB和AB是底面圆的直径。如果圆柱的图3-1153轴截面是正方形，这个圆柱叫做等边圆柱。（4）平行于圆柱轴的平面，截圆柱所得的截面是一个矩形11()AACC，11AC和AC是底面圆的弦。圆柱有两个参数，如底面半径和圆柱的高。2．圆锥的概念和性质直角三角形以一个直角边为旋转轴所旋转成的旋转体叫做直圆锥体，简称圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。由直角三角形垂直于轴的一边旋转所成的圆面叫做圆锥的底面。另一边旋转所成的曲面叫做圆锥的侧面。在侧面上各个位置的边叫做圆锥的母线（也可看成是子午线）。母线的公共点叫做圆锥的顶点。顶点到底面的距离叫做圆锥酌高。显然，圆锥可以看作是圆锥面与垂直于轴且与母线相交的一个平面所围成的空间部分。根据圆锥的概念，可以直接得出它的一些性质：（1）圆锥的底面是圆面。（2）圆锥的所有母线相等且与轴成等角。（3）过圆锥的轴的平面截圆锥所得的轴截面是一个等腰三角形。它的底边是底面积的直径()AB。如果圆锥的轴截面是正三角形，这个圆锥叫做等边圆锥。（4）过圆锥的顶但不过轴的平面去截圆锥，所得截面是一个等腰三角形（如△VCD），底边是底面圆的弦CD。（5）垂直于圆锥的轴的平面截圆锥所得的截面是圆，截面面积和底圆面积之比，等于自顶点V至截面的距离和圆锥的高的平方比。如果圆锥的底外接于直棱锥的底并且顶点相同，则把它叫做棱锥的外接圆锥。如果圆锥的底内切于棱锥的底，并且顶点相同，则把它叫做棱锥的内切圆锥。如果圆锥的底和一个圆柱的下底在同一平面上，而圆柱的上底是圆锥的垂直于轴的截面，则此圆锥叫做圆柱的外接圆锥。如果圆锥的底和一个圆柱的下底相同，而顶点是圆柱的上底的中心，则此圆锥叫做圆柱的内接圆锥。圆锥有两个参数，底面半径R（或周长、面积）和高h（或子午线长l）。3．圆台的概念及性质直角梯形以一直角边为旋转轴旋转所成的旋转体叫做圆台。旋转轴叫做圆台的边。梯形的上、下底旋转所成的圆面分别叫做圆台的上、下底面。另一边旋转所成的曲面叫做圆图3-2154台的侧面。在侧面上各个位置的边叫做圆台的母线（也可看做是子午线）。上、下底面之间的距离叫做圆台的高。显然，圆台也可以看作是平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的。根据圆台的概念，可知圆台有下面性质：（1）圆台的底面是在平行平面上的两个圆面。（2）圆台的母线相等，母线延长交于轴上同一点。（3）通过圆台的轴的截面，称为轴截面，是一个等腰梯形，其上下两底是圆台上、下两底面的直径。圆台有三参数，上、下底面半径（或周长、面积）和高（或母线长）。3.3球的概念及其性质半圆以它的直径为旋转轴旋转所成曲面叫做球面，球面所围成的空间部分叫做球体，简称为球。半圆的中心叫球心。连结球心和球面上一点的线段叫做球的半径。球面上在各个位置的半圆叫做球面的母线（子午线）。母线中各点旋转所成的圆叫做球面的平行圆。球面也可以看做是与球心的距离等于它的半径的点集合。一个球可用表示球心的字母O表示，例如球O。球有下面一些性质：（1）球心到球面上任意点的距离都相等，且等于球的半径。（2）球面被平面所截，则截成一个圆。如果R表示球的半径，d表示球心到截平面的距离，r表示所截成的圆的半径，则22rRd。通过球心的平面所截成的圆叫做大圆（这时0d，rR），不通过球心的平面所截的圆叫做小圆。球面上两点间的大圆弧（≤）叫做这两点间的球面距离。地球可以近似地看作一个球，地轴的南北两端分别叫做南极、北极。在地球面南北极间的半大圆（子午线)叫做经线。赤道是大圆，它的平行圆是小圆，叫做纬线。北（南）纬1232的纬线叫做北（南）回归线。北南回归线之间的球面部分是热带。北（南）纬1662的纬线叫做北（南）极圈，北（南）回归线和北（南）极圈之间的部分是北（南）温带。其余部分是北（南）寒带。例如，我国大部位于北温带，我国首都北京位于东经11624'，北纬3954'。图3-3155关于球与平面、直线、球的位置关系，完全类似圆与直线、圆的位置关系。（1）球与平面的位置关系，有以下几种可能：当dR时，球与平面相交于圆。当dR时，球与平面相交于一点，叫做相切。当dR时，球与平面相离。（2）球与直线的位置关系也有以下三种可能：当dR时，球与直线相交于两个点。当dR时，球与直线相交于一个点，叫做相切。当dR时，球与直线相离。与球只有一个交点的平面，叫做球的切面。与球只有一个交点的直线，叫做球的切线。它们的交点都叫做切点。显然，球面上一点的所有切线，都在这个点的切面上，并且，球面的每条切线也是通过它的平面与球交成圆的切线。因为切线与球有且仅有一个交点，因而它就是切线与圆的切点。（3）关于两个球的相互位置，有以下一些可能：设两个球的半径分别是R、r，它们中心的距离为d，当dRr时，两个球外离，无交点。当dRr时，两个球外切，只有一个交点。当dRr时，且dRr时，两个球相交，交成一个圆。当dRr时，两个球内切，只有一个交点。当dRr时，两个球内离，无交点。如果球的球面和一个多面体的所有面相切，则这个球叫做多面体的内切球。如果球的球面通过一个多面体的所有顶点，则这个球叫做多面体的外接球。定理任意四面体一定存在一个外接球。证明：设已知任意四面体ABCD，因为与三点A、B、C等距离的点的集合是通过△ABC的外心且垂直于它所在平面的一条直线l上，又与顶点A、D等距离的点的集合是线段AD的垂直平分面。点D不在平面上，所以平面必与直线l相交于唯一点O，OAOBOCOD。因此，以O为中心，OA为半径的球就是已知四面体的唯一外接球。通过这个命题的证明可以直接得出下面推论：推论1四面体的四个棱的垂直平分面交于一点。图3-4156推论2通过四面体四个面的外心且垂直于各面的直线交于一点。定理在任意四面体内，存在一个内切球。证明：设已知四面体ABCD，因为与四面体的一个三面角D-ABC各面等距离点的集合是它的三个二面角平分面的交线m。而与面DAB、CAB等距离的点的集合是二面角DABC的平分面。直线m与平面必相交于唯一点O。而O到已知四面体的四个面的距离相等。因此，以O为中心，以这个等距为半径的球，就是已知四面体的唯一内切球。通过这个命题的证明可以得到下面推论：推论1四面体的四个三面角的空间平分线（三面角的空间平分线是指线上的点到三个面等距）交于一点。推论2四面体的六个二面角平分面交于一点。从上面两个命题的证明和推论，容易想到，对于任意多面体，如果所有棱的垂直平分面交于一点，它就存在外接球，如果所有二面角的平分面交于一点，它就存在内切球，否则就不存在外接球和内切球。二、旋转面的面积3.4圆柱、圆锥、圆台的侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面，但是如果设想沿着它们的母线剪开可以把曲面摊平铺在平面上，得到一个平面图形，叫做这个曲面的展开图。象这些能剪开后摊平的曲面，就叫做可展曲面。可展曲面可以应用它们的侧面展开图来求出其侧面积。1．圆柱的侧面积将圆柱侧面沿一条母线AB剪开铺在平面上，成一个矩形，它的底边AA等于圆柱底面周长，而另一边AB等于圆柱的母线或高，根据圆柱这个侧面展开图，可得下面定理：定理如果圆柱的底面半径是r，周长是C，高是h,那么它的侧面积是：2SChrh圆柱侧。图3-5157圆柱的全面积等于侧面积与两底面积的和。2．圆锥侧面积沿圆锥母线把侧面剪开铺在平面上，得展开图是一个扇形，扇形半径等于圆锥母线，弧长等于圆锥底面圆周长。设扇形的圆心角为，由2l2360r(其中l是母线长，r是底面半径)得rl360（度）。根据侧面展开图，圆锥侧面积等于扇形的面积，由此得到下面定理：定理如果圆锥的底面半径是r，周长是C，母线长是l，则圆锥侧面积是：12SClrl圆锥侧。圆锥的全面积等于侧面积与底面积的和。3．圆台的侧面积沿圆台母线剪开其侧面，摊平后可得圆台的侧面展开图。实际上是圆心角相等，母线重合的两个扇形之差为一个扇环。设C，'C是圆台两底面的周长，l是母线长。则SSS圆台侧大圆锥侧小圆锥侧1122SAC)'SAlC（。由于'SAlCSAC