2011届高考数学第一轮章节复习课件80

第十四章坐标系与参数方程知识点考纲下载考情上线坐标系1.理解坐标系的作用．2.了解在平面直角坐标系伸缩作用下平面图形的变化情况．3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．1.主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，多在填空中考查．2.在填空题中涉及直线、圆的参数方程综合考查．知识点考纲下载考情上线参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3.了解平摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．主要考查直线、圆、椭圆的参数方程与普通方程的转化.第一节坐标系一、极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个单位、一个单位(通常取弧度)及其方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作(ρ，θ).长度角度正二、极坐标和直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x＝，y＝.又可得到关系式：ρ2＝，tanθ＝(x≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式.ρcosθρsinθx2＋y21．在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的方程为________．解析：利用直角三角形的边、角关系．答案：ρ＝asinθ2．极坐标方程分别为ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为.答案：解析：设两圆圆心分别为A，B.则两圆圆心的直角坐标分别为A(1,0)，B(0，523．两直线的位置关系是.解析：两直线方程可化为x＋y＝2008，y－x＝2009，故两直线垂直．答案：垂直sin()2008,sin()2009444.把极坐标方程ρcos(θ－)＝1化为直角坐标方程是.解析：ρcos(θ－)＝1可化为ρ即＋y－2＝0.答案：B31(cossin)1,223110,22xy5．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2可化为x＋y－2＝0，故点(1,0)到直线距离d＝答案：6．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________．解析：设圆上任一点的坐标为(ρ，θ)．则ρ＝2·cos(π－θ)，即ρ＝－2cosθ.答案：ρ＝－2cosθ1．解决该类问题时，要注意变换时点的坐标之间的对应关系．2．平面坐标系中几种常见变换(1)平移变换在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示为(2)伸缩变换一般地，由所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.由伸缩变换解出然后代入原方程即可求解.解析：由伸缩变换得到(1)将()代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是x′＋y′＝0.因此，经过伸缩变换后，直线2x＋3y＝0变成直线x′＋y′＝0.*(2)将()代入x2＋y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是因此，经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成椭圆*1．在平面直角坐标系下，圆x2＋y2＝4，经过伸缩变换后的图形分别是________.解析：由伸缩变换将其代入x2+y2=4得方程x′2+y′2=16同理由伸缩变换这是一个椭圆.答案：圆，椭圆得到方程极坐标与直角坐标的互化1．互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．2．若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程．(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式；(2)联立两圆方程求交点或两圆方程相减均可求得直线方程．解析：以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由解得即⊙O1、⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.2．已知圆的极坐标方程为ρ＝5－5sinθ，求它的半径和圆心的极坐标．解：ρ＝5cosθ－5sinθ可表示为ρ2＝5ρcosθ－5ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0，即因此该圆的半径为5，圆心的直角坐标为所以圆的半径为5，圆心的极坐标为答案：1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R；(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ；(3)圆心在点(a，)处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθθ∈[0，π]．注：当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．2．求曲线的极坐标方程的基本步骤第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点P(ρ，θ)；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，直线l过点P且与极轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程．从直线l任取异于P的一点M(ρ,θ)→将ρ，θ与已知条件置于△MOP→利用正弦定理求得.解：如图所示，设M(ρ，θ)为直线l上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|＝ρ，∠xOM＝θ.由点P的极坐标为(ρ1，θ1)，知|OP|＝ρ1，∠xOP＝θ1.设直线l与极轴交于点A，已知直线l与极轴成α角，于是∠xAM=α.在△MOP中，∠OMP=α-θ，∠OPM=π-(α-θ1)，由正弦定理，得即ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)．①显然，点P的坐标(ρ1，θ1)是方程的解．因此，方程①为直线l的极坐标方程．即3．经过极点O(0,0)，三点的圆的极坐标方程为________．解析：将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题．点O、A、B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)．故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，进而易知圆心为(3,3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，即x2＋y2－6x－6y＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cosθ＋sinθ)＝0，即ρ＝6(θ－)．答案：ρ＝6cos(θ－)坐标系这一内容作为新增考点，在高考中常借助于直线与圆的极坐标方程，考查直线、圆的位置关系主要是通过互化解决问题，题型为填空题，难度不大，如2009年安徽高考就考查这一内容.(2009·安徽高考)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，它与曲线(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|＝________.[解析]直线方程θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，参数方程(α为参数)化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，从而根据弦长公式可以求得|AB|＝.[答案]本题以直线与圆的位置关系为载体考查了极坐标方程与参数方程向普通方程的转化．