山东省淮坊市数学骨干教师培训讲座：数学概念课、公式课课型教学模式及评价标准

数学概念课、公式课课型教学模式及评价标准•什么是概念？概念是同类事物的本质特征的反映。概念既是存在于人脑知识结构的一种知识内容，又是主体所进行的一种认知加工过程。•数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁所形成的学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。数学概念课型的特点：（1）它是以“事实学习”为中心内容的课型。该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。（2）教师应通过各种数学形式、手段，把主要的力量，最佳的教学时间用在揭示和概括研究对象本质属性的过程上。引导学生把握准某类事物的共同属性的关键特征。解决好概念的“内涵”与“外延”的认识和理解。（3）概念课应注意直观教学。让学生了解研究对象，多采用语言直观、教具直观、情境直观、电化直观等教学手段，引导学生从具体到抽象，经概括和整理之后形成新的概念，或从旧概念的发展中形成新概念。•（4）概念课应解决学生“概念学习”中的几个问题：•①对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。•②对概念（定义）的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。•③概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。•④克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。重视概念课教学的启发性和艺术性，重视创设情境，激发学习兴趣，引导学生对概念学习的高度重视。同时应采用多种形式的训练（如选择答案、填空、变式等），从多个侧面去加深对概念的理解与应用。教师教学行为概念课教学应遵循学生认知心理规律的四个发展层次：“感觉——知觉——观念（表象）——概念”。教学的各个环节安排应有利于这认知心理规律的四种形态的发展和不同层次的认知需要。课堂教学流程图大致为：创设情境，引入课题——归纳探索，形成概念——概念应用，巩固延展——归纳小结，提高认识【教学控制框图】学生学习行为（1）学会观察、归纳。通过观察发现共性的东西。（2）注意理解所学概念的来龙去脉。这个概念讨论的对象是什么？有何背景？有哪些限制条件、哪些特殊规定?学习这个概念有什么意义？（3）除老师及教材所下的定义外，试试能否用自己的语言来表述。注意有没有其他等价的说法。为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？（4）相应的符号能否记牢，符号的读法、表示法会不会。概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？（5）根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？（6）回忆过去学过的概念中，有没有相近、相似，容易混淆的地方？它们与过去学过的概念有什么联系？注意它们之间的区别。应当如何强调这些区别（7）根据所理解的定义，举出实际的例子。课堂教学1．全面了解教材的体系，把握好概念教学的层次2．在体验数学概念产生的过程中认识概念。2.1创设情境,激发兴趣2.2给出模型，感性引入3．依托教材，落实双基3.1重视教材，提倡“咬文嚼字”，避免“概念不清”，反对强记硬背3.2加强对表示概念的数学符号的理解3.3在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念3.4在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念4．采用多种方法巩固概念4.1在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念4.2承前启后，巩固概念4.3系统归类，巩固概念4.4指导编码，巩固概念5．创新教学方法，改善课堂结构5.1挖掘原型，提出问题5.2揭示本质，培养直觉思维能力5.3聚焦信息，培养概括能力5.4利用多媒体设备，进行直观演示和过程模拟，培养学生抽象思维能力6．客观评价、快速反馈6.1察言观色，及时调控6.2客观评价，激励士气案例分析课题：函数的单调性【教学目标】1．知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．2．能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．•【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．•【教学难点】根据定义证明函数的单调性．•【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．•【教学手段】多媒体、投影仪．【教学过程】一、创设情境，引入课题为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2004年到2007年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？•预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.•教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等。•归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．•〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知2．抽象思维，形成概念三、掌握证法，适当延展•例1四、归纳小结，提高认识•学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．•1．小结•(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．•(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．•(3)数学思想方法：数形结合．•2．作业•书面作业：课本第46页练习A第3，5题．•课后探究：研究函数的单调性．)0(1xxxy《函数的单调性》教学设计说明•一、教学内容的分析•函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．•对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．•二、教学目标的确定•根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．•三、教学方法和教学手段的选择•本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．•四、教学过程的设计•为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：•（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．•（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．•（3）考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔．教学评价设计•学生学习综合评价表•教师自我反思评价表数学公式课数学公式是用符号（字母、运算符号）表示的量与量之间关系（定律或定理）的式子。数学公式可分为恒等变换型和函数方程型两大类。目前中学阶段经常用的平方差公式，立方差公式、指数运算、对数运算、诱导公式等属于恒等变换型；立体几何中的表面积、体积公式，向量中的坐标运算公式，向量的内积，数列的通项、求和公式，斜率、三角变换公式等属于函数方程类的。一、课型特点该课型应体现学生的学习活动是在进行“命题学习”。通过“命题学习”，进一步了解概念与概念之间的内在联系及其演绎规律，掌握几个概念之间所存在某些定律或联系法则。二、教师教学行为•（1）上好一节公式课，应体现该课型一般的课堂结构：“引入——观察——归纳猜想——证明”。•课堂结构：•（2）公式课的教学应遵循以下两个规律：一是以一般的原理为前提，推求到某个特殊场合作出新的结论的演绎推理规律；二是以若干特殊场合中的情况为前提，推求到一个一般的原理原则作为结论的归纳推理规律。（3）公式课遵循如下的“教学控制框图”：•数学教材中的公式是一个知识体系。在公式课教学中，应抓住本节所讲的公式在体系中的“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，由此导出和启发学生理解新的公式。（片断）－《两角和与差的余弦》三、学生学习行为（1）注意命题提出的背景和条件，思考将会产生的结论（大胆猜想），并用语言表达出来。（2）敢于动脑、动手去探求验证或演绎证明（3）认真听取老师和同学的分析思路，和自己的论证设想作比较，敢于争论，并汲取最优者。（4）弄懂推理论证过程中所涉及的数学思想、方法及特殊技巧。（5）理解公式的规定条件、结论及适用范围和功能。以典型图形表格等帮助记忆。（6）对数学公式中各部分符号的含义应深刻理解，知道各部分间的内在联系，学会公式的变形。四、课堂教学•(一)公式教学应达到的目的•（1）使学生学到研究问题、发现规律的方法，提高学生的创新意识与能力，同时激发学生的成就感。•（2）有计划地进行数学的思想方法的渗透，提高学生的数学素养、提高分析问题和解决问题的能力。•（3）让学生准确地掌握公式，深刻理解公式的条件、适用的范围、作用以及公式的各种变形。（二）教学要点•（1）公式课应通过各种有效的教学手段，把主要的精力和时间用在公式推导、证明的全过程上。让学生记住某一个公式并非命题课的最终目的。命题课要达到的教学目的是：揭示公式的来龙去脉，揭示其推导、论证中所用的有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧；交待清楚公式适应的范围及成立的特定条件，理解由某一条件下所得出的必然结论。•（2）公式课应让学生准确地掌握命题的条件部分和结论部份，了解公式中诸条件的性质和作用，掌握公式变形的各种形式。•(3)值得注意的问题：•①培养学生从实际事物中发现和提出数学问题，或从已有的数学知识中提出新的数学问题的创造性思维能力，逐步提高学生从实际（或旧知识）中“类比猜想”、“归纳概括”以及“推理论证”，最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能力。•②克服“只重视结论及结论的套用，不重视推导过程”的命题学习心理，以及克服“只强调死记结论，不重视知识形成过程”的急功