气温变暖研究中的数学问题

气温变暖研究中的数学问题08071228金珍耀08071204严莉萍08073206李慧2010年9月3日1气温变暖研究中的数学问题摘要本文对1850年～2007年全球的平均气温数据作图进行定性分析，发现气温在波动中呈上升趋势并且气候变暖的趋势在加剧，气候变暖的危害日益突出。因此本文通过建立模型对未来气温的变化趋势、气候变暖的成因以及气候变暖的损失进行分析并提出预防气候变暖政策的建议。首先，我们要定量研究全球气温的变化趋势。我们建立GM模型，进行全球平均气温的预测。由于GM模型主要针对中短期预测，且对平稳趋势的预测较为精准，又建立了ARMA随机时间序列模型，应用EVIEWS5.0进行全球平均气温的预测，与实际数据做折线图比较，并对残差序列进行白噪声检验。结果表明该模型拟合效果很好。由于ARMA模型适合短期预测，本文应用ARMA(3,1,2)模型每次进行10年的预测，然后把预测数据加入原序列中再进行10年的预测。在该改进的基础上对全球未来50年的平均气温进行预测。预测结果是未来50年全球气温是比较波动的，其中2008～2014年气温的变化幅度最大，2014年之后气温的波动逐渐平稳。然后我们建立GM—ARMA组合模型，充分发挥两者优点，弥补缺点。然后，我们先对数据进行标准化，应用spss软件分别利用主成分分析法和最优逐步回归模型对气候变暖成因其中四个因子（二氧化碳、太阳辐射强度、甲烷、一氧化儿氮）对全球变暖的影响进行分析，结果显示二氧化碳的贡献最大，其次是太阳辐射强度，贡献最小的是甲烷和一氧化儿氮。进而，我们将经济学理论、经济现实与全球气候变化结合起来，基于经济上的C-D生产函数模型,引进了气候因子，构建了一个新的“经济—气候模型，也称为“C-D-C模型”，从交叉领域角度评价气候变化对粮食产量的影响。基于以上几个模型的结论，我们认为国家采取减少二氧化碳排放量的措施是科学的，但是还需对控制甲烷和一氧化儿氮的排放量做出措施，同时减少大气中二氧化碳和甲烷的浓度，才能更好的减缓全球变暖的趋势。关键词：GM-ARMA组合模型、主成分分析、最优逐步回归模型、Cobb-Douglas生产函数2一、问题的重述与分析1.1问题的简述气候变暖已是人们普遍关注的问题。在多种不利因素的影响下，气候变暖的趋势在加剧，它的危害或不利影响正在显现，比如全球变暖的一个预期结果是地表空气将变干，导致陆地开放水体生物的蒸发率上升，这种增加将导致一系列水循环的改变，这对于地球的生态和整个生物生存条件都会引起变化；另外，如果地球的冰层过快的溶化，会引起海平面的上升，这自然会引起地球上人类的生活环境变坏。本题意在从现有的地球气温有关数据出发，获取信息，进而获得气温变化规律，进而对气候变暖情况及可能的危害进行定量的研究。拟要求获得以下结果：1．建立数学模型，使用此模型预测气温的变化趋势。2．建立数学模型，使用此模型获取引起气温上升的主要原因。3．建立数学模型，使用此模型对气候变暖的损失进行定量估计。4.通过以上对气候变暖的定量研究，对于目前的一些预防气候变暖的对策进行评价，并利用你的研究结果提出一些更为合理的对策。1.21850-2007年全球气温分析通过对全球气温数据的搜索，我们整理得到了1850-2007年来历年的全球年平均气温值（原始数据见附录），用MATLAB作出1850-2007年全球年平均气温变化趋势图，如图1-1所示：184018601880190019201940196019802000202013.413.613.81414.214.414.614.8图1-11850-2007年全球年平均气温变化趋势图从图1-1中可以直观的看出，自1850年以来，全球的平均气温稳步波动上升。其中，1850至1878年气温的波动比较平稳，19世纪80年代、20世纪初期和中期，气温波动性比3较大，而20世纪80年代后，气温增长的趋势十分明显。全球气温的变化直接或间接地影响着地球上生物的生存环境，为了获得气温变化趋势进一步的信息，本文将建立以下几个模型，首先对全球气温的变化趋势进行预测，分析引起全球变暖的主要原因，并对其造成的经济损失等不良影响进行定量估计，从而提出一些合理应对全球变暖问题的良策。二、符号说明与问题假设)()(lx0：第l时刻原始值；)(ˆ)(lx0：第l时刻预测值；)()(l0：l时刻的残差；m：残差的最小值；p：回归部分阶数；q：滑动平均部分的阶数；),,,(pii21：自回归系数；),,,(qjj21：滑动平均系数；),(~20Nat：白噪声序列。1)所查到的原始数据基本准确;2）只考虑太阳辐射程度、大气中二氧化碳、甲烷和一氧化二氮的浓度对气候变暖的影响，不考虑其它因素;3）只考虑气候、播种面积，化肥使用量和地膜覆盖面积投入量对于粮食产量的影响，不考虑其他生产要素;4）所提政策建议基于的现有研究理论都是正确的;三、模型建立与求解从图1-1可以看出，全球年平均气温的时间序列为既含有确定性的动态趋势又含有随机性波动的非平稳时间序列。对于平稳随机序列，自回归滑移平均ARMA是最熟悉的统计学分析方法之一。而灰色系统理论GM则是一种动态趋势预测理论，本文首先将这两者结合用于全球年平均气温预测。2、GM模型及其建模2.1GM（1,1）残差修正模型动态趋势项的灰色系统预测主要是基于GM模型。GM模型是一个拟微分方程的动态模型，它可以较好地描述系统内部特征和发展趋势，其外推预测性能优于统计回归方程，而且也不要求样本数据有较大容量和满足一定统计分布。其中，使用最的的是GM4（1,1）模型。设有k个原始非负样本序列)}(,),(),({)()()()(kxxxx000021，对序列)}({)(kx0进行一阶累加生成：kmmxkx101)()()()(，),,,(nk21(2-1)由此得生成数列：)}(,),(),({)()()()()(kxxxkx111121。据此建立关于)()(kx1的一阶线性白化微分方程：uaxdtdx)()(11。利用最小二乘法求解参数ua,为：NTTYBBBuaa1)(ˆ，其中：11211322112121111111))()(())()(())()(()()()()()()(nxnxxxxxB综上可得)(1x的灰色预测GM（1,1）模型为：aueauxkxak)()(ˆ)()(1101，nk,,,,210(2-2)其实际预测值可由下式得出：)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()(kxkxkx11011，nk,,,,210(2-3)通过分析上述模型的预测序列的残差值，如果发现该残差序列还具有一定的趋向性，同样也可以对于残差序列建立GM（1,1）模型来预测残差值，从而对第一步中得到的预测序列进行残差修正。定义第l时刻原始值)()(10x与预测值)(ˆ)(lx0之差，称为l时刻的残差，记为)(ˆ)()()()()(lxlxl000。令mll)()()()(00，Nl,,,21，从而得到新的序列)}({)(l0，式中m为残差的最小值。通过这样的处理，不论序列)}({)(l0为何种形式，恒友00)}({)(l，且)()(l1是递增的，这是微分模型可以表达的。然后对序列)}({)(l1，建立GM（1,1）建立对残差进行预测，最后得到离散响应函数为：abeablkka)()()(ˆ101）（）（，Nk,,,21(2-4)5其实际预测值可由下式得出：）（）（）（）（）（）（kkk11011ˆˆˆ，nk,,,21(2-5)在此基础上对原来的预测序列)(ˆ)(ix0进行修正：)(ˆ)(ˆ),(ˆ)()()(ixiix0001，Ni，,,21mii）（）（00ˆ)(ˆ)(，Ni，,,21)},(ˆ{)(10ix就是)}(ˆ{)(ix0经修正以后的预测序列。2.2基于GM模型的全球平均气温的预测根据GM模型，本文利用MATLAB进行编程求解，已知全球年平均气温，利用MATLAB编程可得全球平均气温趋势项的灰色系统的预测结果为：20424784247814410173513110173513..2)()(..texetx）（对1850年-2007年的全球平均气温进行预测，同时与真实值进行比较。如下图2-1：184018601880190019201940196019802000202013.413.613.81414.214.414.614.8GM预测与实际值对比时间直线为原始值，o为预测值图2-11850-2007年全球平均气温的实际值与预测值的比较其中，1879年的预测值相对误差最小，为0.01%；1976年的预测值相对误差最大，为3.62%；平均相对误差为1.57%，精度良好。由以上分析可知，采取1850～1878年的全球年均气温值作为样本数据预测得到1879年以后127年的数据，经检验精度良好。我们继续对1998～2007年的预测数据进行误差分析，结果如下表4-3-1所示。发现近10年的全球均温预测值的相对误差很小，最小相对误差为2006年和2007年的60.05%，最大相对误差为1998年的1.27%，平均相对误差为0.45%，此精度比前面1879～2007年的平均误差1.57%更加理想。表2-11998～2007年全球均气温预测表年份实际值GM(1,1)预测值相对误差199814.54614.3610375480.012715691709199914.29614.3664264320.0071350621665200014.2714.3718173370.0022062415531200114.40914.3772102650.0056274047676200214.46414.3826052170.0058728533227200314.47314.3880021940.0037100300785200414.44714.3934011950.0057449093375200514.48214.3988022230.0012338595748200614.42214.4042052770.00052842375389200714.40214.4096103590.00052842375389虽然选取的样本数据是19世纪中期开始的30年，年代久远，但在此样本数据基础上对近代的全球均气温的预测值却很准确。因此，在忽略随机因素的前提下，我们仍旧采取1850年～1878年来比较稳定的全球年均气温值作为样本数据，用GM(1,1)模型对2008年～2032年未来25年的全球平均气温进行预测。利用经过检验的GM(1,1)模型：)()1()1()1()1()0(kxkxkx来预测2008~2032年即25年的全球平均气温。用MATLAB编程得到模型预测数据（代码见附录），在EXCEL上作出未来25年的全球均温趋势图，如下图2-2。图2-22008-2032年全球平均气温预测值根据模型的预测结果，我们发现在未来的25年中，全球的平均气温还将持续上升，在2024年全球气温将首次突破C050.14，整体上年均气温有逼近C06.14的趋势。2.3GM(1,1)模型的精度检验残差是实际值与预测值之差,残差与实际值的百分比称为相对误差。残差检验中,相对误差越小说明模型的拟合程度越好,其预测精度越高。1）符号标记和公式：7t时刻残差为:)()()()0()0()0(txtxt，残差方差为:MitMs22)0()0()(22][11，原始数据方差为:MixtxMts12)0()0(2])([11，其方差比及小误差概率为:},6745.0)({,1)0()0(12stppssc相对误差百分率：)()()()0()0()0(nxnxnxPi。2）误差检验