线性代数公式定理总结

1/352012年6月14日星期四第一章行列式1．逆序数1.1定义n个互不相等的正整数任意一种排列为：12niii，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用12niii表示，12niii等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。1.2性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即211。证明如下：设排列为111lmnaaabbbcc，作m次相邻对换后，变成111lmnaaabbbcc，再作1m次相邻对换后，变成111lmnaabbbacc，共经过21m次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1，要么减少1，相当于211，也就是排列必改变改变奇偶性，21m次相邻对换后2121111m，故原命题成立。2．n阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质2：互换任意两行（列）其值变号。性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评注对性质4的重要拓展：设n阶同型矩阵，;ijijijijAaBbABab，而行列式只是就某一列分解，所以，AB应当是2n个行列式之和，即ABAB。评注韦达定理的一般形式为：121201201110;;1nnnnnnnnnnnniijiiijinnnaaaaxaxaxaxxxxaaa2/352012年6月14日星期四一、行列式定义1．定义111212122212nnnnnnaaaaaaaaannnjjjjjjaaa221211)()1(其中逆序数121njjjj后面的1j小的数的个数2j后面比2j小的数的个数1nj后面比1nj小的数的个数.2．三角形行列式11121222000nnnnaaaaaa11212212000nnnnaaaaaa1122nnaaa1211000nnnnnnnaaaaa1112121221000nnaaaaaa12112111nnnnnaaa1212111nnnnnaaa二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.2．展开定理1122ikikinknikaAaAaAAAAaAaAajknknjkjkj2211三、重要公式设A是n阶方阵，则1．TAA2．11AA3．1*nAA3/352012年6月14日星期四4．nkAkA5．ABAB，其中B也是n阶方阵6．设B为m阶方阵，则00ACAABBCB010mnACAABBCB7．范德蒙行列式1222212111112111nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx四．有关结论1．对于,nnnnAB(1)00AA(2)ABAB2.A为n阶可逆矩阵AEAE行变列变（A与E等价）0AX只有惟一零解AXb有惟一解（克莱姆法则）A的行（列）向量组线性无关A的n个特征值0,1,2,,iinA可写成若干个初等矩阵的乘积)()(BrABrAAT是正定矩阵4/352012年6月14日星期四A是nR中某两组基之间的过渡矩阵3.A为n阶不可逆矩阵0A0AX有非零解nAr)(0是A的特征值AA4.若A为n阶矩阵，)2,1(nii为A的n个特征值，则niiA15.若BA~，则BA行列式的基本计算方法：1.应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。2.按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。典型题:一.数字行列式的计算.1.利用行列式的定义.2.利用行列式的基本性质.3.一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式.二.行列式的代数余子式的相关计算.三.AB类型成抽象行列式的计算.1.与向量成分块矩阵结合2与特征值、特征向量结合.4与代数余子式结合.四.范德蒙行列式与克莱姆法则第二章矩阵一内容概要1矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，A才有意义，但是AA；此外当A是长方形矩阵时A没有意义。2矩阵的运算及其运算律（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线性运算：5/352012年6月14日星期四a)矩阵的和：A+B注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）nmijnmijkaakkA)(；c)一般地，若tttAkAkAAAA221121k,,,是同型矩阵，则有意义，称为矩阵tAAA,,,21的一个线性运算；3矩阵的转置将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵AAT或，称为矩阵A的转置。4矩阵的乘法矩阵乘法的定义：smijsnnmCBA注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而njjjiiinjinjijiijbbbaaabababac2142122115关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地其BAAB原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如同都有意义，但其阶数不与，则BAABbBaAjtij3223,；c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。例如BAABBAABBA都有意义，但是与，则1111,11112）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若0,0,00,XAAXCBAACAB推不出，例如若，推不出3）若TTTABABAB有意义，则3几种特殊类型的矩阵（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5）对称矩阵：若TjiijnnijAAaaaA，即,；（6）反对称矩阵：若TjiijnnijAAaaaA--,，即；6/352012年6月14日星期四关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则0A;(7)正交矩阵：若1AAEAAAAATTT或满足：，则称A是正交矩阵。关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：nnTATTATT1211；（8）阶梯形矩阵若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2）初等变换初等行变换、初等列变换；（3）初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：BArr13131022113113222121)2(7/352012年6月14日星期四即则PAB131132221100012001131310221B对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。举例说明BAcc11111220113113222121)2(100010021131132221111112201B(4)矩阵A与B等价如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：jsttQPQQAQPPPB,,i2111其中是初等矩阵每一个矩阵A都与矩阵000rE等价，其中r是矩阵A的秩，即存在000,2111irsttjEQQAQPPPQP使得：初等矩阵6关于n阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得AB=E或BA=E则称矩阵A是可逆的；(2)n阶方阵A可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得AB=E或BA=E(即定义）；2）用A的行列式0AA来描述：;3）用矩阵的秩来描述：的阶数；是矩阵这里AnnAr)(4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3）逆矩阵的性质1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；8/352012年6月14日星期四2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且111ABAB;3）nnTTAAAAAkAAAAA11111111111,k,)(,，;4）000000,000011111111BAABBABABA（4）逆矩阵的求法1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：1||ABBEEA，则一系列初等行变换2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2)伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵*AEAAAAA**使得当00,10***1AAAAAAAAA时：当时，对于一般地方阵A，其伴随矩阵*A的秩为：2)(01)(1)()(*nArnArnArnAr若若若当00,0*1*AAAAAn时当时，。（6）关于矩阵的秩1）矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式rD，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，rD称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A实行初等变换其秩不变)()(BrArBA，则一系列初等变换9/352012年6月