单位圆与周期性

单位圆与周期性角和角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?454它们的正弦函数值有什么关系?相等相等xyr=1O323835332314角和角呢?角和角呢?角和角呢?由上述问题的讨论，不难得出：终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+x)＝sinx(k∈Z)同理，对于余弦函数也有同样的结论：终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(2kπ+x)＝cosx(k∈Z)例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期.2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。生活中有许多周期性变化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈周期性变化。从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数。正弦函数、余弦函数是周期函数，(备注：同学们回忆目前你学过那些类型的函数？)称2kπ(k∈Z,k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期。一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x)我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期注意:(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；(2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们说f(2x)是周期函数，但周期是T/2；(3)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定义域，也就是说，周期函数的定义域是一个无限集；(4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.(5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R).(6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x∈[0,10π]例题分析例1（1）若函数f(x)的定义域为R，且对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是（）（2）sinα=1/3，则sin(4π+α)=()例2已知函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)=x2,求f(-2015)的值。正弦函数、余弦函数的一个重要性质是终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等。它是化简三角函数的一个重要公式。周期性也是三角函数的一个重要性质，最小正周期是它的主要特征。