正弦函数的图像与性质

1-11-1oP(u,v)Mxyα正弦函数y=sinx有以下性质：（1）定义域：R（2）值域：[-1，1]（3）是周期函数，最小正周期是（4）在[0，]上的单调性是：225.1从单位圆看正弦函数的性质sinα=v函数y=sinx5.2正弦函数的图像1、正弦线rhOAPM)b,a(设任意角的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角的正弦线1-1022322656723352yx●●●正弦函数y=sinx（xR)的图象y=sinx(x[0,])2332346116633265●●●●●●●673435611●●●y=sinx,x∈R因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数y=sinx在区间[2kπ,2(k+1)π](k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全一样,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx(x∈[0,2π])的图象向左,右平行移动(每次平行移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx(x∈R)的图象,如下图所示.xy1-1472352232223225237240如何画出正弦函数y=sinx(x∈R)的图象呢？思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?0,0,123,122,0,0找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!如下表xy=sinx00210-10322．．．2．32xy0π．2π1-1x．．．．．五点法五点：最高点、最低点、与x轴的交点xy=sinxy=-sinx02322010-100-1010．．．2．32xy0π．2π1-1x描点得y=-sinx的图象y=sinxx∈[0,2π]y=-sinxx∈[0,2π]例用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.解(1)列表:例题分析xy=sinxy=1+sinx02322010-1012101(2)列表:描点得y=1+sinx的图象．．．2．32xy0π．2π1-1xy=sinxx∈[0,2π]y=1+sinxx∈[0,2π]用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图。（1)y=2+sinx;(2)y=sinx-1；(3)y=3sinx.y=sinx-1x∈[0,2π]y=sin3xx∈[0,2π]y=2+sinxx∈[0,2π]．．．2．32xy0π．2π1-1x23练习小结小结：作正弦函数图象的简图的方法是：作业：P282“五点法”xOy11223222341y1y正弦函数y=sinx的性质：R实数集k221111，k2_____maxy_____minysin(x+2kπ）=sinx,(k∈Z),（3）周期性当x=________________时，当x=________________时，值域是：（2）值域（1）定义域k22(5)单调性(6)奇偶性是______函数，图象关于_______对称为增函数，内，在_____________________xRx为减函数______________________x奇原点(4)最大值与最小值_____maxy_____miny11Zkkk,22,22Zkkk,232,22xOy11223222341y1y正弦函数y=sinx的性质：定义域R值域[-1,1]奇偶性奇函数周期性2π单调性最值正弦函数的性质2,222xkk在上是增函数；32,222xkk在上是减函数；max212xky当时，min3212xky当时，探究点一正、余弦函数的周期求函数的最小正周期的常用方法有：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有某些性质进而推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T即可．(2)图像法，即作出y＝f(x)的图像，观察图像可求出T.(3)公式法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝2πω.[提示]最简单的方法是利用公式法求周期，也可以利用定义法求解．求下列各函数的最小正周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝sin12x；(3)y＝2sin(x2＋π6)．[解]法一：(1)设2x＝u，则cos2x＝cosu是周期函数，且周期是2π，∴cos(2x＋2π)＝cos2x，即cos2(x＋π)＝cos2x.∴y＝cos2x的周期是π.(2)若令X＝12x，则sin12x＝sinX，sinX是周期函数且周期是2π，∴sin(12x＋2π)＝sin12x，即sin[12(x＋4π)]＝sin12x.∴y＝sin12x的周期是4π.(3)∵2sin(x2＋π6＋2π)＝2sin(x2＋π6)，即2sin[12(x＋4π)＋π6]＝2sin(x2＋π6)．∴y＝2sin(x2＋π6)的周期是4π.法二：(1)∵ω＝2，∴T＝2π2＝π.∴函数y＝cos2x的周期是π.(2)∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π，∴函数y＝sin12x的周期是4π.(3)∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.∴函数y＝2sin(x2＋π6)的周期是4π.1．求下列函数的最小正周期：(1)y＝cos(－2x＋π4)；(2)y＝sin(x4＋12)．解：(1)y＝cos(－2x＋π4)＝cos(2x－π4)，∴函数的最小正周期T＝2πω＝2π2＝π.(2)y＝sin(x4＋12)，∴函数的最小正周期T＝2πω＝2π14＝8π.探究点二正弦、余弦函数的单调性确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)单调区间的方法(1)把ωx＋φ看成一个整体，由每个2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得每个区间即为增区间，由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z)解出x的范围，所得每个区间即为减区间．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．求下列函数的单调递增区间：(1)y＝2sin(π4－x)；(2)y＝3cos(2π－π3)．[提示]第(1)小题要首先利用诱导公式转化为y＝－2sin(x－π4)后再确定单调区间；第(2)小题要利用cosx的单调性确定单调区间．[解](1)y＝2sin(π4－x)＝－2sin(x－π4)，令z＝x－π4，则y＝－2sinz.∵z是x的一次函数，∴要取y＝－2sinz的单调递增区间，即取sinz的递减区间，即2kπ＋π2≤z≤2kπ＋3π2(k∈Z)．∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，∴函数y＝2sin(π4－x)的递增区间为[2kπ＋3π4，2kπ＋7π4](k∈Z)．(2)∵y＝cosx在[2k－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，由2kπ－π≤2x－π3≤2kπ，得：kπ－π3≤x≤kπ＋π6，故所求递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．2．求函数y＝cos(x2＋π3)的单调区间．解：在2kπ－π≤x2＋π3≤2kπ，k∈Z上，函数单调递增，故函数的单调增区间是[4kπ－83π，4kπ－2π3]，k∈Z.在2kπ≤x2＋π3≤2kπ＋π，k∈Z上，函数单调递减，故函数的单调减区间是[4kπ－23π，4kπ＋43π]，(k∈Z).探究点三求函数的最值求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的“二次函数”的形式，即y＝Asin2x＋Bsinx＋C，或y＝Acos2x＋Bcosx＋C，利用配方法求解．求函数y＝－2sinx＋π6＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值．[提示]结合x＋π6的取值范围求最值．[解]∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈[π6，7π6]，∴－12≤sinx＋π6≤1，∴当sinx＋π6＝1，即x＝π3时，y取得最小值1；当sinx＋π6＝－12，即x＝π时，y取得最大值4.∴函数y＝－2sinx＋π6＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.3．求下列函数的值域，并指出最值．(1)y＝2sinx＋π3，x∈π6，π2；(2)y＝2cos2x＋5sinx－4.解：(1)∵x∈π6，π2，∴x＋π3∈[π2，5π6]，∴sinx＋π3∈12，1.∴函数y＝2sinx＋π3，x∈π6，π2的值域为[1,2]，ymax＝2，ymin＝1.(2)∵cos2x＝1－sin2x，∴y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2sinx－542＋98.∵－1≤sinx≤1，∴－94≤sinx－54≤－14，∴－818≤－2sinx－542≤－18，∴－9≤－2sinx－542＋98≤1.∴当sinx＝－1，即x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－9；当sinx＝1，即x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1]，ymin＝－9，ymax＝1.1求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合。解：使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：Zkkxx,22使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：Zkkxx,22312sin2maxmaxxy1)1(2sin2minminxy周期2T2不求值，比较下列各对正弦值的大小：（１）（２）)10sin()18sin(与43sin32sin与解：（１）,218102且y=sinx在2,2上是增函数，10sin)18sin(（２）,2343322且y=sinx在23,2上是减函数，43sin32sin3求y=5+sinx这个函数的最大值、最小值和周期，并求这个函数分别取得最大值及最小值的x的集合。使y=5+sinx取得最大值的x的集合是:Zkkxx,22使y=5+sinx取得最小值的x的集合是:Zkkxx,22615maxy415miny2T解：4不求值，比较下列各对正弦值的大小：（１）（２）260sin250sin与863sin754sin与解:(1)90250260270sin250sin260sin90,270yx并且在上是减函数作业28页