2016高中数学人教A版必修四第一章-5.2正弦函数的性质-练习题含答案

5．2正弦函数的性质1．问题导航(1)“正弦函数y＝sinx在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？(2)正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？(3)正弦曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？2．例题导读P29例2.通过本例学习，学会用五点法画出函数y＝asinx＋b的简图，并根据图像讨论它的性质．试一试：教材P30习题1－5A组T2你会吗？1．正弦函数的性质函数y＝sinx定义域R值域[－1，1]奇偶性奇函数周期性2π为最小正周期单调性当2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)时，函数是递增的当2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)时，函数是递减的最大值与最小值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，最大值为1当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，最小值为－12.正弦函数y＝sinx的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称，关于直线x＝kπ＋π2(k∈Z)轴对称．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()(2)函数y＝asinx(a≠0)的最大值为a，最小值为－a.()(3)若x＝x0时，y＝sinx取最大值，则x＝x0是函数y＝sinx的对称轴．()解析：(1)错误．因为定义域不关于原点对称．(2)错误．要对a分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值．(3)正确．由正弦曲线可知，此说法是正确的．答案：(1)×(2)×(3)√2．M和m分别是函数y＝13sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于()A.23B．－23C．－43D．－2解析：选D.因为M＝ymax＝13－1＝－23，m＝ymin＝－13－1＝－43，所以M＋m＝－23－43＝－2.3．若函数y＝sinx在[0，a]上为增函数，则a的取值范围为________．解析：由函数y＝sinx的图像可知，函数y＝sinx在0，π2上为增函数，所以[0，a]⊆0，π2，所以0a≤π2.答案：0，π2理解正弦函数的性质应关注三点(1)正弦函数不是定义域上单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线是中心对称图形，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的交点．(3)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋π2(k∈Z)，即过正弦曲线最高点或最低点并且垂直于x轴的直线．画正弦函数的图像并讨论函数的性质利用五点法画出函数y＝1＋2sinx的简图，并根据图像讨论它的性质．(链接教材P29例2)[解]列表如下.x0π2π3π22πy＝sinx010－10y＝1＋2sinx131－11根据表中数据画出简图如下．观察图像得出y＝1＋2sinx的性质(见下表).函数y＝1＋2sinx定义域R值域[－1，3]奇偶性既不是奇函数也不是偶函数周期性最小正周期T＝2π单调性当x∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)时，函数是增加的；当x∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)时，函数是减少的最大值与最小值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，最大值为3；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，最小值为－1方法归纳解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后根据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面讨论函数的性质．1．(1)利用五点法画出函数y＝－1＋2cosx＋π2的简图，并根据图像讨论它的性质．(2)画出函数y＝sinx－2(x∈[0，2π])的简图，并根据图像和解析式讨论其性质．解：(1)y＝－1＋2cosx＋π2＝－1－2sinx.列表(如下表).x0π2π3π22πy＝sinx010－10y＝－1－2sinx－1－3－11－1根据表中数据画出简图如下．观察图像得出y＝－1＋2cosx＋π2的性质(见下表).函数y＝－1＋2cosx＋π2定义域R值域[－3，1]奇偶性既不是奇函数也不是偶函数周期性最小正周期T＝2π单调性当x∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)时，函数是减少的；当x∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)时，函数是增加的最大值与最小值当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，最小值为－3(2)列表：x0π2π3π22πy＝sinx010－10y＝sinx－2－2－1－2－3－2描点，用光滑的曲线顺次连接各点，可得y＝sinx－2(x∈[0，2π])的图像，如图所示．由图像及解析式可得该函数有以下性质：定义域：[0，2π]；值域：[－3，－1]；奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数；周期性：不是周期函数；单调性：在区间0，π2与3π2，2π上是增加的，在区间π2，3π2上是减少的．最大值与最小值：当x＝π2时，有最大值为1；当x＝32π时，有最小值为－3.正弦函数的单调性(1)比较下列各组数的大小：①sinπ4与sinπ8；②sin4π7与sin19π7.(2)求函数y＝log12sinx－π6的递增区间．[解](1)①因为0π8π4π2，且y＝sinx在0，π2上是增加的，所以sinπ4sinπ8.②sin19π7＝sin2π＋5π7＝sin5π7.因为π24π75π7π，且y＝sinx在π2，π上是减少的．所以sin4π7sin5π7，即sin4π7sin19π7.(2)由sinx－π60得2kπx－π6π＋2kπ(k∈Z)得π6＋2kπx7π6＋2kπ(k∈Z)，①要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sinx－π6的递减区间，令π2＋2kπ≤x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)得2π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ(k∈Z)，②由①②可知2π3＋2kπ≤x76π＋2kπ(k∈Z)，所以原函数的递增区间为2π3＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．本例(2)条件不变，试求函数的递减区间．解：令2kπx－π6π＋2kπ（k∈Z），－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ（k∈Z），得2kπx－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，故π6＋2kπx≤2π3＋2kπ(k∈Z)，所以原函数的递减区间为π6＋2kπ，2π3＋2kπ(k∈Z)．方法归纳(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤：①一定：利用诱导公式把角化到同一个单调区间上；②二比：利用正弦函数的单调性比较大小．(2)解决有关正弦函数的单调性问题的主要理论依据：①正弦函数的单调性；②复合函数的单调性：设函数y＝f(μ)和μ＝g(x)在公共区间A内是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在A内也是单调函数，并且若y＝f(μ)和μ＝g(x)的单调性相同(反)，则y＝f[g(x)]在A内是增(减)函数，这个性质简记为“同增异减”．2．(1)比较下列各组数的大小；①sin－π18与sin(－π10)；②sin74与cos53.(2)求函数y＝－sinx的单调区间．解：(1)①因为－π2－π10－π180，且y＝sinx在－π2，0上是增加的，所以sin－π18sin－π10.②因为cos53＝sinπ2＋53，又π274π2＋533π2，而y＝sinx在π2，3π2上是减少的，所以sin74sinπ2＋53，即sin74cos53.(2)因为－10，所以函数y＝－sinx的单调性与正弦函数y＝sinx的单调性相反．所以函数y＝－sinx的递增区间即函数y＝sinx的递减区间，为π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)；函数y＝－sinx的递减区间即函数y＝sinx的递增区间，为－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．故函数y＝－sinx的递增区间是π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)，递减区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．正弦函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin(x＋7π)cos52π－x；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝sinx－sin2x1－sinx.(链接教材P30习题1－5A组T6)[解](1)f(x)＝sin[]（x＋π）＋6πcosπ2－x＋2π＝sin(x＋π)cosπ2－x＝－sinx·sinx＝－sin2x.其定义域为R，又f(－x)＝－sin2(－x)＝－sin2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)由1－sinx0，1＋sinx0⇒－1sinx1，得函数的定义域为xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z，关于原点对称，又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(3)由1－sinx≠0，得sinx≠1，从而函数的定义域为xx∈R且x≠π2＋2kπ，k∈Z，不关于原点对称．所以函数f(x)是非奇非偶函数．方法归纳(1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．(2)在判断与正弦函数有关的奇偶性时，常用三角函数的诱导公式将函数解析式化简．3．(1)若函数f(x)＝asinx＋π4＋3sinx－π4是偶函数，则a＝________．(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝2sinx－1；②f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)．解：(1)因为f(x)＝asinx＋π4＋3sinx－π4＝f(－x)＝asin－x＋π4＋3sin－x－π4＝－asinx－π4－3sinx＋π4.所以－a＝3，a＝－3⇒a＝－3.故填－3.(2)①由2sinx－1≥0，即sinx≥12得函数f(x)的定义域为2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．②因为1＋sin2xsin2x，所以1＋sin2x|sinx|≥－sinx，所以sinx＋1＋sin2x0，所以函数f(x)的定义域为R.f(－x)＝lg[sin(－x)＋1＋sin2（－x）]＝lg(－sinx＋1＋sin2x)＝lg1sinx＋1＋sin2x＝－lg(sinx＋1＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．易错警示因错用正弦函数的单调性致误sin1，sin2，sin3按从小到大的顺序排列为________．[解析]sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0π－31π－2π2.所以sin(π－3)sin1sin(π－2)．即sin3sin1sin2.[答案]sin3sin1sin2[错因与防范]解答本题常会得出错误的结论是sin1sin2sin3，出错的原因在于没有考虑1，2，3是否在正弦函数的同一个单调区间上，正确的方法是，利用诱导公式转化到同一个单调区间上再进行大小比较．4．(1)比较cos53，sin103的大小．(2)①比较大小：sinπ4与sin2π3；②在锐角△ABC中，比较sinA与cosB的大小．解：(1)因为cos53＝sinπ2＋53，又π2π2＋5310332π，且y＝sinx在π2，32π上是减函数，所以sinπ2＋53sin103.即cos53sin103.(2)①因为sin2π3＝sinx－π3＝sinπ3，且0π4π3π2，y＝sinx在0，π2上是增加的，所以s