1-2-2-等差数列习题课

追求卓越，崇尚一流。主编：齐继鹏1.知识目标：探究并掌握等差数列前n项和与二次函数的关系；会用数列的前n项和公式求通项公式；会利用相应的公式和性质解决一些综合性的问题．2.能力目标：通过对典型问题的探索、发现，在知识的发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、类比、分析、综合和逻辑推理能力.3.情感目标：通过生动具体的实际问题，激发学生求知的欲望和探究的热情，树立学生求知的勇气和自信，体验发现问题、解决问题的科学方法.等差数列的前n项和公式：2)(:)1(1nnaanS公式dnnnaSn2)1(:)2(1公式等差数列的通项公式：dnaan)1(1等差数列的性质（1）dmnaamn)(（2）mnaadmn（3）qpnmaaaaqpnm（4）仍成等差数列L,,,232kkkkkSSSSS等差数列的前n项和与二次函数的关系dnnnaSnSnn2)1(1项和，则为等差数列的前我们知道，若ndandSn)2(212即这样，我们可以把Sn看成以n为自变量的特殊的二次函数，因此我们可以用二次函数的方法来研究Sn.例1在等差数列{an}中，最大？等于几时，nnSnna,2172)(1nnaanS解：2)21715(nn64)8(2n.8最大时，nSn2nnSAnBn,S.求的最值，需配方，看对称轴在等差数列{an}中nn1a0a0另解：172n0172(n1)0n8.5n7.5.8最大S8nNn，在等差数列{an}中，有最大值nSda,0,01.001nnaa有最小值nSda,0,01.001nnaannSa利用求，项和为的前数列nnSna}{上述公式可以改写为nnnaaaaS121).2(1naSSnnnnn1nnn1S{a}Sn1aSS,(n2).,(),因此用表示可得：例2已知数列前n项和Sn=n2+2.是等差数列吗？数列求）求（}{)3(;)2(;,,1321nnaaaaa解：（1）a1=1+2=3，由S2=4+2,得a1+a2=6，所以a2=3，同理可得a3=5.a1,a2,a3分别为3,3,5（3）数列{an}不是等差数列.（2）当n=1时，a1=S1=3.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1..212;13nnnan13211,a等差数列基本量的计算与等差数列有关的基本运算一般是求数列中某一项或几项的值的问题，通常利用数列的通项公式或数列的前n项和公式列出方程组，求出a1、d或者根据已知条件进行简单代换．解析：由S3＝3，S6＝24，得3a1＋3d＝3，6a1＋15d＝24，解得a1＝－1，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝15.答案：15例3设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.等差数列的性质(1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列，且其公差为m2d；(2)设{an}，{bn}为等差数列，它们的公差分别是d1，d2，则{kan}是等差数列，且公差为kd1；{an±bn}是等差数列，其公差为d1±d2.例4已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是()A．25B．50C．100D．不存在解:∵S20＝a1＋a202×20＝100，∴a1＋a20＝10，∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.∵an0，∴a7·a14≤(a7＋a142)2＝25.故选A.A例5等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a4＋a5＋a6＝________.解析：考虑等差数列的性质,有a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋a7＋a8＋a92＝152.152等差数列的判断或证明证明数列{an}为等差数列有如下方法：①定义法：证明an＋1－an＝d(与n值无关的常数)；②等差中项法：证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N)．例6已知数列{an}满足a1＝14，a2＝34，an＋1＝2an－an－1(n≥2，n∈N)，求数列{an}的通项公式；[思路点拨]本题利用一个简单的递推式，即可将an＋1＝2an－an－1变形为an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，转化成等差数列求解；解由an＋1＝2an－an－1(n≥2，n∈N+)，可得an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N+)．∴数列{an}是首项为a1＝14，公差为d＝a2－a1＝12的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14(n∈N+)，即an＝12n－14(n∈N+)1.求集合M={m|m=7n，n∈N+，且m100}的元素个数，则这些元素的和为.7352.一个等差数列的前10项的和为100，前100项的和为10，它的前110项的和为.-1103.在等差数列{an}中，a5+a10+a15+a20=20，则S24=.1201.等差数列的前n项和与二次函数的关系；3.等差数列基本量的计算；4.等差数列的性质；5.等差数列的判断或证明.2.利用求；nnSa自然赐给了我们知识的种子，而不是知识的本身。——寒涅卡