立体几何初步章节复习

必修二第一章《立体几何初步》章节复习一立体几何的主要内容（一）.空间几何体（二）.空间点、线、面的位置关系一空间几何体1空间几何体的结构柱、锥、台、球的结构特征简单几何体的结构特征2三视图柱、锥、台、球的三视图简单几何体的三视图3直观图斜二测画法平面图形空间几何体4柱、锥、台、球的表面积与体积画图识图柱锥台球圆锥圆台多面体旋转体圆柱棱柱棱锥棱台概念结构特征侧面积体积球概念性质侧面积体积由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球多面体旋转体1柱、锥、台、球及简单组合体简单组合体1、柱、锥、台、球及简单组合体棱柱的性质1.侧棱都相等，侧面都是平行四边形；2.两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；3.平行于侧棱的截面都是平行四边形；棱柱的分类按边数分按侧棱是否与底面垂直分斜棱柱直棱柱正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱四棱柱平行六面体长方体直平行六面体正四棱柱正方体底面变为平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等几种六面体的关系：棱锥SABCD顶点侧面结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……ABCDS棱锥的分类正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥。【知识梳理】棱锥1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2、性质Ⅰ、正棱锥的性质(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。正棱锥性质棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形Rt⊿SOHRt⊿SOBRt⊿SHBRt⊿BHO棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类似的直角梯形。OSHBCDA棱台结构特征ABCDA’B’C’D’用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.圆锥S顶点ABO底面轴侧面母线结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。圆台结构特征OO’用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.球结构特征O半径球心以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体.OS1、圆锥的展开图是一个扇形：其运算常用到一个扇形和一个直角三角形rlr2180lnln总结：运算常用图形lrn3600AOBSO'2、圆台的展开图是一个扇环：其运算常用到两个扇形和两个直角三角形还台为锥总结：运算常用图形3、球.o'orRd222rRd总结：运算常用图形SABCDOM4、正棱锥中的计算常用到四个直角三角形总结：运算常用图形A1C1B1ABCOD1DO15、正棱台中的计算常用到两个直角梯形和两个直角三角形总结：运算常用图形EF正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm2)S棱锥侧=32(cm2)S表面积=S侧+S底=48(cm2)直角三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体.说明它们的结构特征思考3454354352.直观图：斜二测画法步骤是：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使∠x’O’y’=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段。（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。平行、相交性保持不变一平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是（）22o’ABx’y’A.4B.C.D.82422AS原=S直22S直=S原422、三视图三视图的画法1.三视图的位置2.三视图的长、宽、高的关系主、俯视图长对正,主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等.3.实、虚线的应用能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.正视图方向侧视图方向俯视图方向长高宽宽相等长对正高平齐正视图侧视图俯视图侧视图俯视图正视图三视图的位置2、三视图与直观图将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）EBA．BEB．BEC．BED．AEFDIAHGBC侧视图1图2EFDCABPQ如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积是___________．俯视图主视图左视图思考ABCP解：根据三视图，可得这个几何体为三棱锥P-ABC.三条侧棱长都为1，且两两垂直.三个侧面的面积和为，底面积为，故表面积为.32332323、柱、锥、台、球的表面积和体积S正棱台侧＝(c＋c)h12S直棱柱侧＝chS正棱锥侧＝ch12S圆柱侧＝cl=2rlS圆锥侧＝cl=rl12S圆台侧＝(c＋c)l=(r＋r)l12S球＝4R2柱、锥、台的体积V柱=Sh，''1()3VSSSSh台体积公式常用结论1、等底等高的柱体或锥体的体积相等。2、等底（或等高）的柱体或锥体体积之比等于高（或底）的比。3、平行于底面的平面截椎体所得小锥体与原锥体的体积之比等于高的比的立方3、柱、锥、台、球的表面积和体积例1有一个几何体由8个面围成，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，ABCD是边长为30cm的正方形.说明这个几何体的结构特征，画出其直观图和三视图，并求出它的表面积和体积.ABCDPQ两个共底的正四棱锥ABCDPQ俯视图正视图侧视图218003Scm390002Vcm111111111111111123412362ACBDABCDABCDAABDCCBDBACBDACDVVVVVVB1ABCDA1C1D1例2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则三棱锥A-CB1D1的体积为________．2应用举例337,6VS1.一个圆台，上、下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积与体积.2.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为()几何体为正方体内倒置的圆锥，323．(2009·宁夏、海南高考)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为()A.48＋12B.48＋24C.36＋12D.36＋24A边长为5cm的正方形ABCD是圆柱的轴截面，则从A到C绕圆柱侧面的最短路程是____________．22222555()4().22ABBCcm解:ABCDAABCBD2542cm思考如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，求（1）P到面ABC距离；（2）这个几何体的外接球表面积。俯视图主视图左视图拓展ABCP,3,33球表ShB1ABCDA1C1D1在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则三棱锥A-CB1D1的外接球体积为________．变式3147总结反思：必修二第一章《立体几何初步》章节复习二安远一中胡周明（1）平面及其基本性质(公理)2.空间点、线、面的位置关系（2）空间点、线、面的位置关系（2）直线与平面平行、垂直的判定与性质定理2.空间点、线、面的位置关系2.空间点、线、面的位置关系（3）两平面平行、垂直的判定与性质定理2.空间点、线、面的位置关系二、点、直线、平面之间的位置关系四个公理点与直线位置关系点与平面位置关系五种位置直线与直线位置关系直线与平面位置关系平面与平面位置关系两种角异面直线夹角二面角二类关系垂直、平行线面平行的判定定理与性质定理线面垂直的判定定理与性质定理八个定理面面平行的判定定理与性质定理面面垂直的判定定理与性质定理平行、垂直关系判定方法(1)线线平行的判定方法：①利用线线平行的定义证明共面而且无公共点(结合反证法)；②利用平行公理4；③利用平行四边形的性质，角、三角形、梯形中位线，线段对应成比例等．④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；⑤利用线面平行性质定理；⑥利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)；(2)线面平行的判定方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．(不常用的结论)(3)面面平行的判定方法：①平面平行的定义(无公共点)；②面面平行的判定定理(若a∥β，b∥β，a、bα，且a∩b＝A⇒α∥β)；③平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．④线面垂直的性质定理(若a⊥α，a⊥β⇒α∥β)；垂直关系(4)线面垂直的证明方法主要有：①利用线面垂直的定义；②利用判定定理：m，nα，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③利用面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④利用面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β；⑤利用线面垂直判定定理的推论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(5)面面垂直的证明方法：先证明线面垂直(6)线线垂直的证明方法①两直线夹角90度②垂直于平行线中的一条，必另一条③转化为线面垂直的性质：若直线垂直于平面，则直线垂直平面内的任意直线．基础知识网络：平行关系平面几何知识线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定推论性质判定判定性质判定面面垂直定义1.,//abab2.,//aabb3.,//aa4.//,aa5.//,平行与垂直关系可互相转化已知，，是平面，m，n是直线．给出下列命题：①若m∥n，m⊥，则n⊥；②若m∥，∩＝n，则m∥n；③若m⊥，m∥，则⊥；④若，⊥，则∥；⑤若m与n为异面直线，且m∥，则n与平行；其中不正确的命题的序号是______________．②④⑤3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小;(4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;(3)求点A1到平面CB1D1的距离.1(5):AC1求证直线平面ABD;1(6):ABC1求证平面平面ABD;(2)求二面角A—BD—A1的正切值;ABCDA1B1C1D1例4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60．平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，M为线段EF上的点．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？FAMBCDEFAMBCDE（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60，∴∠DCB=∠ADC=120,∠DCA=30∴∠ACB=90,∴ACBC．又∵平面ACFE平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，∴BC平面ACFE．FAMBCDEO（2）当EM＝EF＝a时，AM∥平面BDF．设AC∩BD＝O，由条件易得CO＝AC，在矩形ACFE中，FM∥AO，且FM＝AO，所以四边形AOFM为平行四边形，所以AM∥FO，所以AM∥平面BDF．331313N如图，在长方体1111DCBAABCD中，aADAA1，aAB2，E、F分别为11CD、11DA的中点．（Ⅰ）求证：DE平面BCE；（Ⅱ）求证：//AF平面BDE．练习1