等差数列复习课

2017.3.2[知识能否忆起]1．定义：从起，每一项与前一项的都等于同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的，通常用字母d表示，．符号表示为(n∈N*，d为常数)．第2项差an＋1－an＝d一、等差数列的有关概念公差1．通项公式：an＝.2．等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成．那么A叫作a与b的等差中项．若A是a与b的等差中项，则A＝.等差数列a1＋(n－1)dna1＋nn－12d二、等差数列的有关公式2．前n项和公式：Sn＝＝.a1＋ann2a＋b2三、等差数列的性质1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为.3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为.am＋an＝ap＋aqkdn2d4．等差数列的增减性：d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最值．d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最值．递增递减大小2020/3/296题型:关于基本量的问题在等差数列{an}中，（1）已知a15=33，a45=153，求a61；（2）已知S8=48，S12=168，求a1和d；（3）已知a6=10，S5=5，求a8和S8；（4）已知a16=3，求S31；练练感觉（1）-23（2）-8、4（3）10、-20（4）93法二：∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.[接触高考，证明自己]1．(2013·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得2a1＋4d＝10，a1＋3d＝7.解得a1＝1，d＝2.故d＝2.答案：B答案：B2．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()解析：S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝88.A．58B．88C．143D．176答案：B3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝()解析：依题意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.A．37B．74C．111D．1484．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析：由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列其公差为2.故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－1解析：设{an}的公差为d，由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝12，所以d＝12，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12n＋12(n2－n)×12＝14n2＋14n.5．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝12，S2＝a3，则a2＝________，Sn＝______.答案：114n2＋14n(2)Sn＝d2n2＋a1－d2n＝An2＋Bn⇒d＝2A.1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．[例1]在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝an＋32n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．等差数列的判断与证明(2)证明：对于任意n∈N*，∵bn＋1－bn＝an＋1＋32n＋1－an＋32n＝12n＋1[(an＋1－2an)－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴数列{bn}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．[自主解答](1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.1．证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝na1＋an2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．[例2](2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．等差数列的基本运算[自主解答](1)设数列{an}的公差为d，由题意知2a1＋2d＝8，2a1＋4d＝12，解得a1＝2，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝na1＋an2＝n2＋2n2＝n(n＋1)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．2．(1)在等差数列中，已知a6＝10，S5＝5，则S8＝________.(2)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.①求数列{an}的通项公式；②若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5.解方程组得a1＝－5，d＝3.则S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)①设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d(n≥1，n∈N＋)．由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2，从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.答案：(1)44②由①知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N＋，故k＝7.[例3](1)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9等于()A．66B．99C．144D．297(2)(2013·天津模拟)设等差数列{an}的前n项和Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝()A．18B．17C．16D．15[自主解答](1)由等差数列的性质及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9.所以S9＝9a1＋a92＝9a4＋a62＝99.[答案](1)B(2)A(2)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3．(1)(2012·江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.(2)(2012·无锡联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.答案：(1)35(2)60(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即40＝10＋S30－30，∴S30＝60.“题型技法点拨——快得分”系列之（六）特值法解等差数列问题[典例]在等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件S2nSn＝4n＋2n＋1，n＝1,2，…则an＝________.[答案]n[常规解法]因Sn＝na1＋nn－12d＝n＋nn－12d，则S2n＝2na1＋2n2n－12d＝2n＋n(2n－1)d，故S2nSn＝2n＋n2n－1dn＋nn－12d＝22dn＋2－ddn＋2－d＝4n＋2n＋1.解得d＝1，则an＝n.1．上述解法计算量较大，很容易出错，若采用特殊值计算很简单，因{an}为等差数列且a1＝1，只要求出公差d，便可得出an，若令n＝1，则有S2S1＝3，即可求出公差d.2．特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的；用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件．[巧思妙解]令n＝1，则S2S1＝3，∴S2＝3，a2＝2，可得d＝1，则an＝n.针对训练已知正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，则a9＝()A．6B．9C．18D．20答案：C解析：法一：∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，a9＝a8＋1＝a8＋a1＝2a4＋a1＝4a2＋a1＝18.法二：∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，令p＝n，q＝1，所以an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝2，∴{an}是等差数列，且首项为2，公差为2，故a9＝2＋(9－1)×2＝18.1、若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N＋，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)记bn＝12n(an＋t)(n∈N＋)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．备选题（给有能力的学生加餐）解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2.(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．则2bn＝bn－1＋bn＋1,即2×12n(an＋t)＝12n－1(an－1＋t)＋12n＋1(an＋1＋t)．整理得4an＝4an－1＋an＋1＋t，又4an＝4×an－2n－12＋2an＋2n＋1＋t＋1＝4an＋t－1，∴t＝1，故存在t＝1，使得数列{bn}为等差数列．(2)设bn＝2Sn＋48n，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则有2a1＋4d＝14，7a1＋21d＝70，即a1＋2d＝7，a1＋3d＝10，解得a1＝1，d＝3.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)因为Sn＝n2[1＋(3n－2)]＝3n2－n2，所以bn＝3n2－n＋48n