高三数学专题练习--导数与函数的单调性、极值、最值

1高三数学专题练习9导数与函数的单调性、极值、最值高三数学专题练习⑨一、选择题1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是()A．25，－2B．50,14C．50，－2D．50，－14答案：C解析：因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0,2]时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．[2019·沈阳监测]设函数f(x)＝xex＋1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案：D解析：由题意得，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.3．[2019·焦作模拟]设函数f(x)＝2(x2－x)lnx－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为()A.0，12B.12，1C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)答案：B解析：由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)lnx＋2(x2－x)·1x－2x＋2＝(4x－2)·lnx.由f′(x)0可得(4x－2)lnx0，所以4x－20，lnx0或4x－20，lnx0，解得12x1，故函数f(x)的单调递减区间为12，1，选B.4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画2在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案：D解析：不存在选项D的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是y＝f′(x)的图象，则f′(x)≥0，f(x)是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是y＝f′(x)的图象，则f′(x)≤0，f(x)是减函数，也与图象不符，故选D.5．函数f(x)＝e2x＋2sinπ2＋x－6在[0,2π]上()A．先减后增B．单调递减C．先增后减D．单调递增答案：D解析：因为f(x)＝e2x＋2sinπ2＋x－6，所以f(x)＝e2x＋2cosx－6.所以可得f′(x)＝2e2x－2sinx＝2(e2x－sinx)，又x∈[0,2π]，所以f′(x)＝2(e2x－sinx)≥2(1－sinx)≥0，据此可得，f(x)在[0,2π]上单调递增．故选D.6．已知函数f(x)的定义域为(x1，x2)，导函数f′(x)在(x1，x2)内的图象如图所示，则函数f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为()A．2B．3C．4D．5答案：A解析：由f′(x)的图象可知，其与x轴有4个交点，但是只有2个满足由正变负或由负变正的条件，所以f(x)在(x1，x2)内极值点的个数为2.故选A.7．[2019·吉林模拟]函数y＝xex在[0,2]上的最大值是()A.1eB.2e23C．0D.12e答案：A解析：易知y′＝1－xex，x∈[0,2]，令y′0，得0≤x1，令y′0，得1x≤2，所以函数y＝xex在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝xex在[0,2]上的最大值是y|x＝1＝1e，故选A.8．[2017·全国卷Ⅱ理，11]若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案：A解析：f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.∵x＝－2是f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，即(4－2a－4＋a－1)·e－3＝0，得a＝－1.∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.由f′(x)0，得x－2或x1；由f′(x)0，得－2x1.∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值点为1，∴f(x)的极小值为f(1)＝－1.二、非选择题9．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为________．答案：12解析：易知函数f(x)＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＝x2－1x，令f′(x)0，得0x1，令f′(x)0得x1，故函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为f(1)＝12.10．[2019·无锡模拟]若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．答案：13，＋∞解析：由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是4R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥13，故实数m的取值范围是13，＋∞.11．[2019·河南南阳一中模拟]已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是________．答案：0，12和(2，＋∞)解析：函数求导可得f′(x)＝2x－5＋2x＝2x2－5x＋2x(x0)，令f′(x)＝2x2－5x＋2x0，即(2x－1)(x－2)0，解得x2或0x12，故函数f(x)的单调递增区间是0，12和(2，＋∞)．12．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．答案：－332解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递减；当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递增．∴当cosx＝12，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.刷题课时增分练⑨综合提能力课时练赢高分一、选择题1．[2019·太原模拟]函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()5A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值答案：C解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x－1或3x5时，f′(x)0，y＝f(x)单调递减；当x5或－1x3时，f′(x)0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.2．[2019·江西临川一中模拟]若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)答案：C解析：由题意知x0，f′(x)＝1＋ax，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则方程1＋ax＝0在x0上有解，即x＝－a，所以a0.故选C.3．[2019·河南漯河模拟]正项等比数列{an}中的a2，a4034是函数f(x)＝13x3－mx2＋x＋1(m－1)的极值点，则lna2018的值为()A．1B．－1C．0D．与m的值有关答案：C解析：函数f(x)＝13x3－mx2＋x＋1(m－1)的导数为f′(x)＝x2－2mx＋1(m－1)，由题意a2，a4034是函数f(x)的极值点，所以a2·a4034＝1，则a2018＝1(负值舍去)，则lna2018＝0.故选C.4．[2016·四川卷]已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2答案：D6解析：根据导数求解．由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.5．[2019·合肥调研]若函数f(x)＝2x2＋lnx－ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，4]答案：D解析：由已知得f′(x)＝4x＋1x－a(x0)，因为函数f(x)是定义域上的单调递增函数，所以当x0时，4x＋1x－a≥0恒成立．因为当x0时，函数g(x)＝4x＋1x≥4，当且仅当x＝12时取等号，所以g(x)∈[4，＋∞)，所以a≤4，即实数a的取值范围是(－∞，4]，故选D.6．[2019·广东广州海珠区质检]已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.0，12B．(0,1)C．(－∞，0)D.－∞，12答案：A解析：∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．令f′(x)＝0，得2a＝lnx＋1x.设g(x)＝lnx＋1x，则g′(x)＝－lnxx2，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，∴g(x)max＝g(1)＝1，∴02a1，∴0a12.故选A.7．[2019·河南鹤壁高级中学基础训练]若函数f(x)＝13x3－1＋b2x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43B.32b－237C．0D．b2－16b3答案：A解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3b1.由f′(x)0，解得x2或xb；由f′(x)0，解得bx2.所以f(x)的极小值f(2)＝2b－43.故选A.8．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内无极值，则正整数a的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：由题意知，y′＝3x2－2a，因为a0，令y′＝0，即3x2－2a＝0，解得x＝±6a3，当x∈－∞，－6a3∪6a3，＋∞时，y′0，当x∈－6a3，6a3时，y′0.所以y＝x3－2ax＋a的单调递增区间为－∞，－6a3，6a3，＋∞，单调递减区间为－6a3，6a3，当x＝－6a3时原函数取得极大值，当x＝6a3时，原函数取得极小值，要满足原函数在(0,1)内无极值，需满足6a3≥1，解得a≥32.所以正整数a的最小值为2，故选B.二、非选择题9．[2019·河北大名月考]若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上为单调函数，则k的取值范围是________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：在区间(1，＋∞)上，01x1，f′(x)＝k－1x.当函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上为单调增函数时，k≥1x恒成立，则k≥1；当函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上为单调减函数时，k≤1x恒成立，则k≤0，所以k≥1或k≤0.10．[2019·贵州遵义四中月考]已知函数f(x)＝13x3＋x2＋(1－a2)x在(0,1)内存在最小值，则a的取值范围为________．8答案：(－