高中数学选修1-2-1.1回归分析的基本思想及其初步应用

新学期我们怀揣大学梦想，只要我们相信自己，刻苦努力每一天，就一定能考进北京大学未名湖和博雅塔第一章统计案例a.比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修１-２——统计案例5.引入线性回归模型y＝bx＋a＋e6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果我们回忆一下最小二乘法:样本点的中心:xbyaxxyyxxbniiniiiˆˆ)())((ˆ121),(yxniixnx11niiyny11回归方程:axbyˆˆˆMODESHIFTSCL=113，M+16549，M+17565，M+16558，M+15751，M+17053SHIFTASHIFTB2==1(进入回归计算模式)(清除统计存储器)(输入五组数据)所以回归方程为y=0.673x-56.79(计算参数a)(计算参数b)EXCEL怎样使用函数计算器求线性回归方程？问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否-------有一个确定性的关系？例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455复习:变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：2、现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？1020304050500450400350300·······发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？xy施化肥量水稻产量施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455散点图我们回忆一下最小二乘法:样本点的中心:xbyaxxyyxxbniiniiiˆˆ)())((ˆ121),(yxniixnx11niiyny11回归方程:axbyˆˆˆ例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考P3产生随机误差项e的原因是什么？思考产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高x的观测误差。例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。根据最小二乘法估计和就是未知参数a和b的最好估计，abniiniiiniiniiixnxyxnyxxbyaxxyyxxb1221121)())((制表78合计654321ixy，，ixxiyy()()iixxyy2()ixxniiniiynyxnx1111，其中所以回归方程是0.84985.712yx所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为0.8497285.71260.316()ykg(,)xy称为样本点的中心探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。712.85849.0^^ab，于是得到探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测值。函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。1.用相关系数r来衡量2.公式：12211niiinniiiixxyyrxxyy求出线性相关方程后，说明身高x每增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢?849.0b00rxyrxy当时，表示与为正相关;当时，表示与为负相关①、当时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。②、当时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。1r10r3.性质：我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和1354总计0.36128.361随机误差(e)0.64225.639解释变量(身高)比例平方和来源表1-3从表3-1中可以看出，解释变量对总效应约贡献了64%，即R2≈0.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。12,,,neee编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。iiieyy=使用公式计算残差残差图的制作及作用。•坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；•若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；•对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。——这些问题也使用于其他问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:零件数X24568加工时间y(分钟)3040605070(1)0.9192rˆ(2)6.517.5yx(1)求x,y之间的相关系数;(2)求线性回归方程;