2019-2020年高考数学专题复习三角函数与平面向量的综合应用教案文

2019-2020年高考数学专题复习三角函数与平面向量的综合应用教案文1.同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点.2.研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±Asinωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±Acosωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y＝sinx与y＝cosx的单调区间.3.解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现.4.平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性.[难点正本疑点清源]1.三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式，再研究其性质.2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用.题型一三角函数式的化简求值问题例1已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值.探究提高(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确.已知向量m＝(－1，cosωx＋3sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω0，且m⊥n，又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f32α＋π2＝2326，求sinα＋π4＋2α的值.题型二三角形中的三角恒等变换例2设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围.探究提高本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围.设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值；(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值.题型三平面向量与三角函数例3已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围.探究提高向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝－1，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值.8.平面向量与三角函数的综合问题试题：(12分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ).(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.审题视角(1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值.(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式.规范解答(1)解由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.[4分](2)解|b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sinβcosβ－16sinβcosβ)＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42.[8分](3)证明由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，故a∥b.[12分]第一步：将向量间的关系转化成三角函数式.第二步：化简三角函数式.第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式的性质.第四步：明确结论.第五步：反思回顾.查看关键点，易错点和规范解答.批阅笔记(1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型.(2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决.(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.方法与技巧1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容.2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查.(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题.(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.3.加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题.失误与防范1.对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围.2.平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性.专题三三角函数与平面向量的综合应用(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是()A.π2B.πC.2πD.4π2.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA).若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π33.已知a＝－12，32，b＝(1，3)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值等于()A.1B.32C.12D.22二、填空题4.已知0απ4，β为f(x)＝cos2x＋π8的最小正周期，a＝tanα＋14β，－1，b＝(cosα，2)，且a·b＝m，则2cos2α＋α＋βcosα－sinα＝________.5.在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cosx，－2cos2x)，C(cosx,1)，其中x∈[0，π]，若AB→⊥OC→，则x的值为______.6.已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin2xcos2x－sin2x＝_________.三、解答题7.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(A0，ω0，|φ|π2)，若该函数图象上的一个最高点坐标为π6，3，与其相邻的对称中心的坐标是－π12，0.(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合.8.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝cos2B，2cos2B2－1且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.B组专项能力提升题组一、选择题1.已知向量OB→＝(2,0)，向量OC→＝(2,2)，向量CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是()A.0，π4B.π4，512πC.512π，π2D.π12，512π2.在△ABC中，AB→·BC→＝3，△ABC的面积S△ABC∈32，32，则AB→与BC→夹角的取值范围是()A.π4，π3B.π6，π4C.π6，π3D.π3，π23.(2011·大纲全国)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A.2B.3C.2D.1二、填空题4.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是__________.5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当PD→·PA→取得最小值时，tan∠DPA的值为________.6.(2011·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB＝3，BD＝1，则AB→·AD→＝________.三、解答题7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.(1)判断△ABC的形状；(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值.8.已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|＝3，|b|＝1，x为正实数.(1)若a＋2b与a－4b垂直，求tanθ；(2)若θ＝π6，求|xa－b|的最小值及对应的x的值，并指出向量a与xa－b的位置关系；(3)若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa－b|＝|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围.答案题型分类·深度剖析例1解(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)，可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6.从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos