数学归纳法公开课课件

数学归纳法课题引入不完全归纳法,1,1},{11nnnnaaaaa已知观察数列,212a,313a,414anan1:猜想归纳通项公式回想等差数列通项公式的推导过程：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。21aad32aad43aad......211aad32aad312aad43aad413aad......1234,,,,:aaaa由的表达式我们得到11naand*,nN对一切都有举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？1)55(22nnaNnn，都有对一切思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。（1）第一块骨牌倒下；（基础）数学归纳法对于某些与有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法正整数n假设证明数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推注：两个步骤,一个结论,缺一不可证明：（1）当n=1时，,1a左边,011ada右边等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1dkaak那么daakk1ddka])1([1　　这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何都成立Nndka]1)1[(1dnaan)1(1例1如果是等差数列，已知首项为公差为，那么}{na1ad对一切都成立Nn试用数学归纳法证明上述证明对吗？为什么？证明：①当n=1时，左边＝②设n=k时，有135...........(21)[2(1)1]kk即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。例2用数学归纳法证明:当Nn2)12(..........531nn1右边＝12)12(.........531kk等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。则，当n=k+1时2[12(1)1](1)2(1)kkk1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝正确解法：用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。nN证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝+[2(k+1)－1］k2＝＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）例3：用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝1(1)(2)3nnn从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。Nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×33nanaaaaannnnn1),,3,2,1(11}{11证明：，，已知对于数列成立；时，）当证明：（111111an.12111111111)2(1nakkkaaaknkaknnkkkk）知，）（综上（，也成立，时，成立，则当时，假设当用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早证明：①当n=1时，左边＝,21右边＝,212111②假设n=k时，等式成立，,2112121212132kk＋＋＋＋那么n=k+1时1322121212121kk＋＋＋＋等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即211])21(1[211k.2111k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132＋＋＋＋因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是32nn30n此时n取的第一值课堂练习1、用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=211naa(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+aC．1+a+a2D．1+a+a2+a32、求证：1+2+3+…+n=12n(n+1)作业：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。（2k+1)(2k+2)k+12.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时命题成立10nn0n递推基础（2）假设时命题成立证明时命题也成立)N(0nkkkn且1kn递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。课堂小结