知识点31--与圆有关的位置关系2019

一、选择题5．（2019·苏州）如图，AB为⊙O的切线．切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB=90°，∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°，∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D．1.（2019·无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°【答案】B【解析】∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∵∠APB=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=∠AOP=25°．故选B．2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A.817B.717C.49D.59xyxyO-6OOOBCAABBAPEF【答案】B.【解析】∵A（8，0），B（0，8），∠AOB=900，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=8√2，∠OBA=450，取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，∵线段DH是Rt△CFD斜边上中线，∴DH=12CF=10，故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时，△ABE的面积最小.在Rt△ADH中，AH=OH+OA=13,∴AD=√AH2−𝐴𝐷2=12.∵∠AOE=∠ADH=900，∠EAO=∠HAD，∴△AOE∽△ADH，∴𝑂E𝐴𝑂=𝐷𝐻𝐴𝐷，即𝑂E8=512，∴OE=103，∴BE=OB-OE=143.∵S△ABE=12BE·OA=12AB·EG，∴EG=𝐵E·OA𝐴𝐵=143×88√2=7√23.在Rt△BGE中，∠EBG=450，∴BG=EG=7√23，∴AG=AB-BG=17√23.在Rt△AEG中，tan∠BAD=𝐸𝐺𝐴𝐺=717.故选B.3.(2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则O的半径为()A.23B.3C.4D.43【答案】A【解析】∵O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO＝3OA,又∵在Rt△AOB中,2243AOABOB,∴OD＝23,故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C＝40°则∠B的度数为50°.故选Ｂ．5.（2019·重庆A卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C．6.7.8.9.10.二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2=AC·AB；③若AB=4，∠APE=30°，则BM的长为3；④若AC=3，BD=1，则有CM=DM=3．【答案】①②④【解析】连接OM，BMODCBA∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴ACAMAMAB．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMl．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，∴∠CAM＝∠BMD．∵∠ACM=∠BDM=90°，∴△ACM∽△MDB．∴ACCMDMBD．∴CM·DM=3×1=3．∴CM=DM=3．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AC∶BC∶AB=5∶12∶13，O在△ABC内自由移动，若O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为103，则△ABC的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O在△ABC内所能到达的区域是△O1O2O3，∵△O1O2O3三边向外扩大1得到△ACB，∴它的三边之比也是5∶12∶13，∵△O1O2O3的面积=103，∴O1O2=53，O2O3=4，O1O3=133，连接AO1与CO2，并延长相交于I，过I作ID⊥AC于D，交O1O2于E，过I作IG⊥BC于G交O3O2于F，则I是Rt△ABC与Rt△O1O2O3的公共内心，四边形IEO2F四边形IDCG都是正方形，∴IE=IF=1223122313OOOOOOOOOO=23，ED=1，∴ID=IE+ED=53，设△ACB的三边分别为5m、12m、13m，则有ID=ACBCACBCAB=2m=53，解得m=56，△ABC的周长=30m=25.3.（2019·济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝3，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．【答案】6334EDOBAC【解析】在Rt△ABC中，∵3tan3BCAAC，∴∠A＝30°．∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB．设⊙O的半径为r，在Rt△ADO中，tan3ODrAOAr，解得r＝3332，∴阴影的面积是S＝60360×π×(3332)2＝6－334π．4.（2019·眉山）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为．【答案】23【解析】连接OQ，如图所示，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=42，∴AB=2OA=8，∴S△AOB=12OA•OB=12AB•OP，即OP=OAOBAB=4，∴PQ=22OPOQ=2242=23．故答案为：23.5.(2019·宁波)如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,点D在边BC上,CD＝5,BD＝13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的P与△ABC的一边相切时,AP的长为________.【答案】132或313【解析】半径为6的P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:①当P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处取到,为5,故这种情况不存在;②当P与AC相切时,点P到BC的距离为6,如图PE＝6,PE⊥AC,∴PE为△ACD的中位线,点P为AD中点,∴AP＝113=22AD;③当P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF＝6,PF⊥AB,过点D作DG⊥AB于点G,∴△APF∽△ADG∽△ABC,∴PFACAPAB,其中,PF＝6,AC＝12,AB＝22ACBC＝613,∴AP＝313;综上所述,AP的长为132或313.6.7.8.9.10.三、解答题23．（2019·衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D，连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB交AC于E，由∠BCA＝30°，∴∠AOB＝60°．在∆AOE中，∵∠OAC＝30°，∴∠OEA＝90°，所以OB⊥AC．∵BD∥AC，∴OB⊥BD．又B在圆上，∴BD为⊙O的切线；（2）由半径为8，所以OA=OB=8．在∆AOC中，∠OAC＝∠OCA＝30°，∠COA＝120°，∴AC＝83．由∠BCA＝∠OAC＝30°，∴OA∥BC，而BD∥AC，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BD＝83．∴∆OBD的面积为12×8×83＝323，扇形OAB的面积为16×π×82＝323，∴阴影部分的面积为323－323．24．（2019·淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE与⊙O相切.理由如下：第24题答图1DAOCBEDAOCB如图所示，连接OD，则OA=OD，∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠BAD.∴∠FAD=∠ODA，∴OD∥AF.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切.（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.第24题答图1∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°，∴∠DFE=∠B=60°.∵⊙O的半径为2，∴AB=4，∴3223430cosABAD，∴3213230sinABDE，∴13360tanDEEF.22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．【解题过程】证明：（1）连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OC，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA＝90°，∴∠ADO＝＝90°，∴OD⊥AB，∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（2）∵CE＝6，∴OD＝OC＝3，∵∠BDO＝90°，∴222BOBDOD，∵BD＝4，∴OB＝2243＝5，∴BC＝8，∵∠BDO＝∠OCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴BDODBCAC，∴438AC，∴AC＝6．21．（2019·武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点（1）如图1，求证：AB2＝4AD·BC（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积图1图2【解题过程】证明：（1）如图1，连接OD，OC，OE．∵AD，BC，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，AD＝ED，BC＝EC，∠ODE＝12∠ADC，∠OCE＝12∠BCD∴AD//BC，∴∠ODE＋∠OCE＝12（∠ADC＋∠BCD）＝90°，∵∠ODE＋∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠OCE．又∵∠OED＝∠CEO