中线倍长法及截长补短经典讲义

1几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD﹤21(AB+EDABCAC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。例2、中线一倍辅助线作法△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长方式3：作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEBCDAEDABCFEDCBANDCBAMFECABDEDABC2作业：1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，CDADDFDE∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°.FEABCDDABCMTEABCD图1-1FEDCBA图1-23例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在△FCE与△BCE中，CECEBCEFCECBCF∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，43DEDEADEFDE∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，BPBPPDPE∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在Rt△APE与Rt△CPD中,DCAEPDCPEAPDPE∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°例4.已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.ADBCEF1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCDE图3-2DCBA12图4-14分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,ADADEB21∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在△AFD与△ACD中,ADADACAF21∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。作业：1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDEFEDCBAEDCBA12图4-2FDCBA12图4-35（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例1、如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF.练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。3、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BCABCDEFN1图12342图ABCDEFM1234ABCDEF4图ABCDE6图OCEDBA64、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE.6、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证∠A＝∠D.8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB.截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．ABCD7图1234DCBA110图O10图DCBAMN7NMPDCBA2．如图，□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．5.在□ABCD中，对角线BDBC，G为BD延长线上一点且ABG为等边三角形，BAD、CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE.（1）若□ABCD的面积为93，求AG的长；（2）求证：AEBEGE.6.已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线.点P为矩形外一点且满足APPC，APPC.PC交AD于点N，连接DP，过点P作PMPD交AD于M.（1）：若15,3APABBC，求矩形ABCD的面积；（2）：若CDPM，求证：ACAPPN.BD2题图EAFC87、如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BEDP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AFAE交DP于点F，连接BF。（1）若2AE，求EF的长；（2）求证：PFEPEB。9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连结CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．ABDCOEFGM9题图