华科土木结构动力学--作业题汇总

共43页第1页《结构动力学》课后习题1试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量和轴向变形。(a)4个动力自由度(b)2个动力自由度(c)2个动力自由度(d)2个动力自由度m1EIEIEI2EImmEI=∞（e）3个动力自由度（f）3个动力自由度EIEIEAmEIm1EI共43页第2页(g)2个动力自由度(h)3个动力自由度(i)2个动力自由度(j)1个动力自由度=EImmm（k）2个动力自由度（l）2个动力自由度2试比较下列图式结构（a）、（b）固有频率的大小，并说明理由。llmEIllmEIEA解：（a）结构滑动铰支座刚度无穷大，而（b）结构由于二力杆可以轴向变形，所以（a）结构刚度大于（b）结构刚度；而两结构质量相等，根据km可以知道，（a）结构故固有频率大于（b）结构固有频率。EACm1EImk（a）（b）共43页第3页3下图为刚性外伸梁，C处为弹性支座，刚度系数为k，梁端A，D处分别有m和质量m/3，同时梁受集中荷载FP(t)的作用，试建立刚性梁的运动方程。Dl0.5ll0.5lACBEI=∞FP(t)kmm/3解：单自由度体系，设刚性梁转角为m(t)(my)(y)3AADDF（1）其中Ayl2Dyl设刚梁顺时针转动为正①当在A处作用单位力F=1时,2()3CF234329Alkkl②当在D处作用单位力F=1时,4()3CF438329Alkkl③当作用Fp（t）时，(t)()3pCFF(t)2(t)3329ppFFFlkkl代入（1）式得：2(t)4m8(m)()(2)9399pFllklklkl整理得：2(t)28279pFmkkl共43页第4页4求图示结构的自振频率EIklm解：如图所示，该体系只有一个自由度。设固定支座处出为原点，距离原点x处的质点（mdx）位移为x，惯性力为()mdxxmxdx。对原点取矩有0()()lmxxdxmllkll则有1()03kmlm解得：13kmlm5试分别采用刚度法和柔度法求图示结构的自振频率。/2lEI/2l336=EIklmAB解：1.柔度法3111212(2)24234236lllEIklEI331366EIEImmlml2.刚度法以静力平衡位置为参考点，取隔离体则0myky又3136EIkl则：36EIml共43页第5页6建立图示体系的运动方程，并求出自振周期和自振频率。EIEIEI=∞Fp(t)L1mL2解：设横梁沿水平方向发生单位位移1,弯矩图如下：226EIl226EIl216EIl226EIl1单自由度的振动方程：222222221113312331233123333121233121212331212166166111212123232==PPFtkmykyFtyymmEIEIEIEIkllllllEIllEIllllEIllEIllkmmllllmllEIllTllml；其中，角频率：12l共43页第6页7试按刚度法列出下图所示刚架在给定和在作用下的动力平衡方程。sinqtmEIEIla(a)解：（a）考虑质点m的平衡，如下图所示sinqtEIEISmSIy,SIImy确定弹性恢复力S弹性恢复力S可以认为由两部分叠加而成，第一部分为使m产生位移是假的力R11；第二部分为m不动，在荷载作用下产生的反力R1P，即S=R11+R1PsinqtEIEI23=(1)EIkaa=1y111123(1)EIRkyyaa，31sin8(1)PqltRaa共43页第7页代回动力平衡方程得：1PRsinqtEIEI323sin(1)8(1)EIqltmyyaaaa8图示刚性外伸梁，C处为弹性支座，其刚度系数为k，端点A、D处分别有m和/3m质量，端点D处装有阻尼器c，同时梁BD段受有均布动荷载()qt作用，试建立刚性梁的运动方程。/2llkAm/2lEIBCD/3m()qtc解：因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。2I1I()t()2lt()lt3()2ltRcR这个自由度体系可能产生的位移形式如上图所示，可以用铰B的运动()t作为基本量，而其他一切位移均可利用它来表示。()t顺时针方向为正。则A点有位移()2lt和加速度()2lt，D点有3()2lt和加共43页第8页速度3()2lt及速度3()2lt，C点的约束反力为()CRklt。由0BM，有123333()022224ClllllIIRRlqt将惯性力、阻尼力及约束力代入上式，得2333333()()()()()0222322224lllmlllllmttctkltlqt经整理，运动方程为99()()()()48lmtctktqt9图示梁受简谐荷载sinPFt作用，20PFkN，180s，30mkg，62910EINm，梁长4lm，支座B的弹簧刚度348EIkl试求：（1）无阻尼时梁中点总位移幅值（2）阻尼比0.05时梁的最大动弯矩llEIsinPFtmkAB解：（1）计算体系柔度，1M图如下：3336611212(2)22322111141.2210/6464910lllEIklmmNEI613316464910165301130114EIsml动力系数2211.3112l共43页第9页36(30101.312010)1.2210323stpGmgFmmm（2）阻尼比0.05时，动力系数22222211.305(1)4max11==(2)1.305202452.244pMMFlkNm动静10如图所示结构，跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载()sinPPFtFt作用在距离左端l/4处，若试求在荷载()PFt作用下，质点m的最大动力位移。msinPFt/2l/2lEI12/4l解：易知质体的自振频率为：348EIml则动力放大系数：222112.7810.81最大动位移：maxstyy①其中：12stpyF②3480.8EIml共43页第10页1231123[248316334(22)616848881642]2243811768lllEIllllllllllllllEI③由①、②、③可得：33max112.780.04768ppFllyFEIEI11如图所示体系，各杆长为l，EI=常数，1处有集中质量m，2处有动力偶()sinMtMt，33EIml，试建立体系的微分方程，并画出体系的弯矩幅值图。解：该体系为单自由度体系，由柔度法列平衡方程有：、1112()()ymyMt其中由1M图和2M图可知：31123lEI，3126lEI整理后代入上述方程有：33sin24EIMyytmlml故体系的自振频率为：3331.2252EIEImlmlEICm12sinMtll1ll1M图2M图1共43页第11页将与代入2211得动力系数1（负值表示y达到幅值时与()Mt反向）质点振幅：2max6MdstMlyyEI惯性力幅值：2maxmax2dMImyl由maxmax1max2dMIMMM可作动弯矩图：12M12MM12图示简支梁跨中有质量m，支座A受动力矩sinMt作用，不计梁的质量。求质点的动位移和支座A处的动转角。sinMtEIABCm2l2l解：动荷载不作用在质点上，公式不可直接用，需要建立振动方程需要求出外力作用下C点的位移和惯性力作用下C点的位移(1)单位力作用在C点及单位弯矩作用在A点时结构的弯矩图共43页第12页1P4l1M1图乘可得：31148lEI、2122116lEI、223lEI(2)根据叠加原理建立运动方程1112()()sinytmytMt(a)2122()()sinAtmytMt(b)将11、21代入（a）式：*2()()sinPytyttm式中：2348EIml，*3MPL求解此方程可得结构的稳态解：*2221()sinsin1sPyttytm，其中2211为动力系数，*2216sPMLymEI为弯矩M引起的质点静位移。(3)将此结果代入（b）式求解动转角()sinsin3AsMLtttEI其中，222271161，3sMLEI为M引起的A端静转角。共43页第13页13图示（a）所示梁的跨中有一台电动机，实测得此梁自由振动时跨中点位移时程曲线如图所示（b），周期T=0.06s，若忽略梁的分布质量。pFtll(a)30mm20mmytt(b)试求：（1）阻尼比；（2）共振时的动力系数；（3）共振时电动机每分钟的转数n；（4）若电动机转数为600r/min，由于其离心力引起梁中点稳态的振幅为2mm，求共振时的振幅A。解：（1）由跨中点位移时程曲线图可知：15ln11130=lnln0.016132nln242420kknyyyy（2）动力系数2222221=1-+4共振时=即=11=312.25（3）共振时2==T又2=60n60n1000minrT（4）转速1600minrn时，102600=0.621000nn共43页第14页122211==1.562510.61离心力的竖向分量的频率为：1262.860ns由于maxstyy，则1.28stymm离心力2pmr与2成正比，也与2n成正比故共振时的离心力为n为600时的离心力的2210006002.78倍故共振时的振幅为：111.2stymm14求图示刚架的阻尼系数，并将有阻尼自振频率和无阻尼自振频率比较。柱的抗弯刚度EI=4.5×104N.m2，不计柱的质量，横梁EI1=∞，质量m1=m2=5000kg,初始使横梁产生25mm侧移，突然放开，使其自由振动，经过8个周期，测得侧移为9.12mm。EIEIEIEI=∞EI=∞m1m2y0=25mm1m解：设横梁发生水平位移1，由M图可得：共43页第15页3313312124121212363,1;1112.73500021364.510361125lnln0.022289.122225000212.730.0250922112.7310.02kknrEIEIklmllkksmmmmmlEIynycccmmmc其中则由可得：有阻尼时，自振频率为：212.7270.02=r可见，由于阻尼比，非常小，所以15试按刚度法列出下图所示刚架在给定和在作用下的动力平衡方程。(b)ll/2l/2lmEI常数llsinPtmm(c)解：(b)由图可得，此结构为双自由度体系。