数学悖论对数学发展的影响

毕业设计（论文）题目数学悖论对数学发展的影响EnglishTitleTheInfluenceofMathematicsParadoxtoMathematicsDevelopment学生姓名朱封文学号04093217指导教师陈火弟职称副教授专业数学与应用数学二00八年六月目录摘要.................................................................IABSTRACT...............................................................I第一章数学悖论的概述..................................................11．1悖论的产生背景及定义..........................................11．2研究数学悖论的意义.............................................2第二章数学史上的三次重要悖论..........................................42.1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机.................................52.1.1第一次数学危机的出现.......................................52.1.2第一次数学危机的解决途径及影响.............................52.2贝克莱悖论与第二次数学危机......................................72.2.1第二次危机的产生...........................................72.2.2第二次危机的解决途径及影响................................102.3罗素悖论与第三次数学危机.......................................112.3.1第三次数学危机的出现......................................112.3.2第三次危机的解决途径及影响................................122.4若干其他数学悖论...............................................152.5数学悖论对数学发展的影响.......................................17结束语................................................................20致谢................................................................22参考文献..............................................................23附录一................................................................24附录二................................................................24摘要从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的。数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展。可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。关键字悖论；数学危机；矛盾；数学发展；意义ABSTRACTFromthegeneratingbackroundandthedefinitionoftheparadox,wedrawaconclusionthatthemathematicsparadoxiscausedbythecontradiction.Itdoesgreatandenormousinfluencetothedevelopmentofmathematics.Thereforeitisessencialtostudythedefinition,generatingbackgroundoftheparadox,andthesolutionplansforthedevelopmentofmathematics.Analyzingthehistoryanddevelopmentofmathematicsparadox,welearnedthatitnotonlycausedthefamous“threemathematicscrisis”,pushedforwardthebranchesofMaths,butalsoproposedtostudyandsolvetheparadox.ThisenrichedtheMathstheory,creatednewscientificviewpoints,andpromotedtheMathsstudyanddevelopment.Thusit’sclearthattheproductionoftheparadoxnotonlybringsthecrisisanddisappointment,butalsobringsthenewlifeandhopetoMaths.Consequently,theappearanceoftheMathsparadoxwillguidehumantoexploittheunknownareasandadvancedtheprosperityanddevelopmentofMaths.Ithasimportanthistoricalmeaningtotheworld.KeywordParadox；Mathematicalcrisis；Contradictions；Mathematicaldevelopment；Significance东华理工大学毕业论文设计数学悖论的概述1第一章数学悖论的概述1．1悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题。“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代。但严格意义下的悖论是在19世纪末、20纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的。当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论。1897年意大利数学家布拉里—弗蒂(Buraliforti，1861-1931)在超穷序数理论中发现了第一个悖论，接着，集合论的创始人康托尔(cantor，1845-1918)于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素(Russell，1872-1970)在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”。1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”。由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡。那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的。”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真。”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面。本文认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：1．任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的。例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对于朴素集合论和真理性理论而言的。2．悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示。这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念(真、假)而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”。例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德(J.Richard,1862-1956)悖论、格里林(kartCirelling,1886-1941)悖论等就属于第一类型的悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类型的悖论。3．对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”。因为悖论与诡辩有含义上的不同。后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论东华理工大学毕业论文设计数学悖论的概述2逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因。我们认为，布拉里—弗蒂与希尔伯特(Hibert,1862-1943)关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论。数学悖论也叫逆论或反论，他包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定错了，但实际上却是对的；有的看起来是对的，但实际却是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境。数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展为对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩。历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革。1．2研究数学悖论的意义数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。悖论是一种思辩的方法,是研究问题的一种方式,也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏,数学少不了悖论,数学公理系统没有悖论就不是完备的,我们不是去容忍悖论,而是去消解悖论,在消解悖论的过程中提高认知水平。消除悖论的过程常常是完善，发展原有理论的过程。悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关。在数东华理工大学毕业论文设计数学悖论的概述3学发展的过程中，人的认识是不断深化的。在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”。因此，它的发生是必然的、不可避免的。数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新建构理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义。东华理工大学毕业论文设计数学史上的三次重要悖论4第二章数学史上的三次重要悖论数学发展是矛盾运动的结果。爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要。”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化。数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动。数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、实验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化。从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法。数学的历史