1.4.2正弦函数-余弦函数的性质

§1.4.2正弦余弦函数的性质（1）定义域（2）值域（6）周期性（4）奇偶性（3）单调性（5）对称性R[1,1](2,0)(,-1)23(,0)(,1)2要点回顾.正弦曲线、余弦函数的图象1)图象作法---几何法五点法2)正弦曲线、余弦曲线x6yo--12345-2-3-41余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)x6yo--12345-2-3-41正弦曲线(0,0)思考1：今天是2014年11月25日，星期二，那么7天后是星期几？30天后呢？为什么？因为30=7x4+2所以30天后与2天后相同，故30天后是星期四yxo23423411y=sinxx[0,2]y=sinxxRsin(x+2k)=sinx,kZ正弦函数图像的形成)(sinRxxy由诱导公式可知：xkxcos)2cos(即)()2(xfkxf结合图像：在定义域内任取一个，x由诱导公式可知：xkxsin)2sin()()2(xfkxf即1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数概念2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。非零常数T叫做这个函数的周期说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。XX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π三角函数的周期性:3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)1:1.,()()().sin()sin,424fxTfxTyfxxx例定义是对定义域中的值来说的只有注意:每一个个别的满足不能说值:是的周期如2sin()sin,sin.22xxxyx就是说不能对在定义域内的每一个值使因此不是的周期sin()sin.323但是3性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx都是周期函数，且它们的周期为)0,(2kzkk最小正周期是2判断下列说法是否正确（1）时，则一定不是的周期3x2sin()sin3xx23sinyx（）√（2）时，则一定是的周期76x2sin()sin3xx23sinyx（）×例1、求下列函数的周期：cosx是以2π为周期的周期函数.解:(1)∵对任意实数有RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3)1()2()2sin(3sin3)(xfxxxfx(3)112sin()2sin(2)262612sin(4),26xxx12sin()26yx是以４π为周期的周期函数．sin(2)sin(22)sin2(),sin2xxxyx是以π为周期的周期函数.(2)2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy函数周期)621sin(2xy2TT4T4T212函数及函数的周期RxxAy),sin(RxxAy),cos(两个函数RxxAy),sin(RxxAy),cos(（其中为常数且A≠0),,A的周期仅与自变量的系数有关，那么如何用自变量的系数来表述上述函数的周期？2T解：sinfxAxsin2Axsin2Ax2sinAx2fx2Tsin(),cos(),(,,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT一般地，函数及函数其中为常数且的周期为归纳总结P36练习1练习2：求下列函数的周期课堂练习：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin()4(,cos21)3(,4cos)2(,43sin)1(38342432T242T212T632312T当堂检测（1）下列函数中，最小正周期是的函数是（）2cos21sinxyBxyA、、xyCcos、xyD2cos、（2）函数xysin的最小正周期为_____。0),3sin(xy3___（3）已知函数的周期为，则D26(4)函数的最小正周期是2)1(cosxy4练习题.求下列函数的周期：32T6T8T2TTxy3sin)1(3cos)2(xy4sin3)3(xy)10sin()4(xyRxxy),32cos()5(一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω≠0）的周期是:周期求法：•1.定义法：•2.公式法：2(0)T•3.图象法:(1)周期函数、周期及最小正周期的概念.；小结(2)正（余）弦函数的周期.(3)函数及函数的周期RxxAy),sin(RxxAy),cos(2T2.是不是周期函数？为什么？sinxxyx1.y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？3.已知函数的周期是4，且当时，，求()yfx2()1fxx(1),(5),(16).fff思考：吗？2(5)5126f]2,2[x思考：正弦函数的图象探究余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？x22322523yO23225311x22322523yO232253112.奇偶性2.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。x22322523yO23225311P'P正弦函数的图象53113,,,,22222x对称轴：,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：(,0)kkZ余弦函数的图象,0,,2x对称轴：,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：(,0)2kkZ'PPx22322523yO23225311练习•为函数的一条对称轴的是（）sin(2)3yxx22322523yO232253114.3Ax12x.2Bx.0Dx解：经验证，当.12Cx时232x12x为对称轴例题•求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kk解（1）令则的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为•求函数的对称轴和对称中心1cos()24yx421xzzcos1cos()24yxzycoskzkx421Zkkx,22zycos)2(zkk),0,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0,22(Zkkx,22x22322523yO23225311P'P正弦函数的图象53113,,,,22222x对称轴：,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：(,0)kkZ小结余弦函数的图象,0,,2x对称轴：,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：(,0)2kkZ'PPx22322523yO23225311探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311零点：)(Zkkx3.最值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311零点：)(2Zkkx3.最值例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR{|2,}2ttkkZ222xtk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxR例题x22322523yO23225311求使函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。)22cos(3xy化未知为已知分析：令22xz则zycos3•P46A2最值问题121(4)sin23xy123xz解：令1sin2zy要使有最大值，必须2,2zkkz12322kx43xk使原函数取得最大值的集合是|4,3kkZxx1sin2zy要使有最小值，必须2,2zkkz12322xk543kx使原函数取得最小值的集合是5|4,3xkkZx31(3)sin226yx因为有负号，所以结论要相反3sin2yz最大最大sinyz最小1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.)()(21xfxf4.正弦余弦函数的单调性函数(),yfx若在指定区间任取，12xx、且，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（