高中数学排列组合问题的几种基本方法

2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞12020年3月30日星期一2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞2④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：1.分组（堆）问题2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞3例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴先将四项工程分为三“堆”，有211421226CCCA种分法；⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.1.分组（堆）问题2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞4例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？♀♀♀♀♀解：分两步进行：种不同的排法有225566PPP♀♀几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：55A有=120种排法第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：26A有=30种插入法120303600共有＝种排法↑↑↑↑↑↑解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.2.插空法：2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞5相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.3.捆绑法例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?♀♀♀♀♀♀解：（1）分两步进行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：55A有＝120种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：22A有＝2种捆法2120240共有＝种排法种不同的排法有225566PPP♀♀几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞6例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：将5个人依次站成一排，有解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有55A种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数22A∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为535522543AAA35A种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为33551AA2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞7变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?BA解:如图所示BA→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有514(51)(81)11CC条不同的路径.4.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有种排法.11114747AAA2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞8n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法（隔板法）：解：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有315455C种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种.2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞9n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法：解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有3984C种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种.2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞10编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.6.错位法：特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有2615C种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞117.剔除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，37210A∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.1266180AA排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞121.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）A.43B.34C.34AD.34CB2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种B巩固练习2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞133.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A.4448412CCC种B.34448412CCC种C.3348412ACC种D.334448412ACCC种A4.5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A.6B.12C.72D.144C巩固练习2020/3/30新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞14①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).小结