高等代数习题

1高等代数习题第一章基本概念§1.1集合1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？{a}A是否正确？3、设写出和.4、写出含有四个元素的集合{}的一切子集．5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．(i)(ii)(iii)(iv)7．证明下列等式：(i)2(ii)(iii)§1.2映射1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下：f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？6、设a,b是任意两个实数且ab.试找出一个[0,1]到[a,b]的双射.7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。8、设A是全体正实数所成的集合。令(i)g是不是A到A的双射？(ii)g是不是f的逆映射？(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？39、设是映射，又令，证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii)如果是满射，那么也是满射；(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合A规则1234全体整数全体整数全体有理数全体实数baba|),(§1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明,是任意自然数.3、证明二项式定理:这里，是个元素中取个的组合数.44、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。§1.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;;;.2、设是整数且不全为0,而,,.证明,的一个最大公因数必要且只要.3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且,则.证明:任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而,则.4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数,如果,则或.证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而.证明;5利用证明,素数有无限多个．§1.5数环和数域1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．2．证明,是数域．3．证明,是一个数环,是不是数域?4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5．设是一整数,令由例1,是一个数环.设,记．证明:是一个数环．．,这里是与的最大公因数．．第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算61．设和是实数域上的多项式．证明：若是(6)，那么2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3．证明：§2.2多项式的整除性1．求被除所得的商式和余式：(i)(ii)2．证明：必要且只要3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5．设F是一个数域，证明：整除6．考虑有理数域上多项式7这里和都是非负整数．证明：7．证明：整除必要且只要整除§2.3多项式的最大公因式1.计算以下各组多项式的最大公因式：(i)(ii)2.设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．3.令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4．证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。5．设都是有理数域Q上的多项式。求使得86．设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7．设证明：8．证明：对于任意正整数都有9．证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。10．决定，使与的最大公因式是一次的。11．证明：如果那么对于任意正整数，12．设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：且；如果∈F[x]且，那么证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明13．设并且证明：914．设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15．设令比照定理1.4.2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]§2.4多项式的分解1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2.分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.3.证明：当且仅当4.求在内的典型分解式；求在内的典型分解式105.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.§2.5重因式1.证明下列关于多项式的导数的公式：2.设是的导数的重因式.证明：未必是的重因式；是的重因式的充分且必要条件是3.证明有理系数多项式没有重因式.4.应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？115.证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是，这里的是F中的数。§2.6多项式函数多项式的根1．设,求.2．数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式的根.如果是的话,是几重根?3．设求[提示:应用综合除法．]4．将下列多项式表成的多项式.;.5．求一个次数小于4的多项式,使6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.7．令是两个多项式,并且可以被整除.12证明8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里.在中不可约.如果,求上述的[提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]9．设中多项式且,是一个大于1的整数.证明:的根只能是零或单位根.[提示:如果是的根,那么都是的根.]§2.7复数和实数域上多项式1．设次多项式的根是.求以为根的多项式,这里是一个数。（ii）以11,21,…,n1(假定都不等于零)为根的多项式.2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:13若是g,那么;若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式).3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积.5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.§2.8有理数域上多项式1．证明以下多项式在有理数域上不可约:;;.2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.3．设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.4．求以下多项式的有理根:14;;.第三章行列式§3.1线性方程组和行列式§3.2排列1．计算下列排列的反序数：523146879；2．假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少？3．写出4个数码的一切排列．§3.3阶行列式1．确定六阶行列式D=中以下各乘积的符号：2．写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。153．证明：阶行列式4．考察下列行列式：，，其中是这个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？5．计算阶行列式6．计算行列式7．证明：行列式8．设在阶行列式中，16§3.4子式和代数余式行列式的依行依列展开1．把行列式依第三行展开，然后加以计算．2．计算以下行列式:1718提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。3．令计算行列式。§3.5克拉默规则1．解以下线性方程组：2．设是个不同的数,是任意个数,而多项式有以下性质:,.19用线性方程组的理论证明,的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式.3．设.用线性方程组的理论证明,若是有个不同的根,那么是零多项式.第四章线性方程组§4.1消元法1．解以下线性方程组：2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。3．设阶行列式0.20证明：用行初等变换能把行列矩阵化为。4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把化为．§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1．2．利用初等变换求下列矩阵的秩：3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1．4．证明：含有个未知量个方程的线性方程组21有解的必要条件是行列式这个条件不是充分的，试举一反例．5．有解？6．取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？§4.3线性方程组的公式解1．考虑线性方程组：22这里．2．3．设线性方程组：（9）有解，并且添加一个方程：于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中个方程的结果．4．设齐次线性方程组的系数行列式，而中某一元素的代数余子式．证明：这个方程组的解都可以写成的形式,此处k是任意数.5．设行列式23令是元素的代数余子式.证明:矩阵的秩．第五章矩阵§5.1矩阵的运算1．计算；；；；24．2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i)设B=()是一个np矩阵．令=是B的第j列，j=1,2,…,p．又设是任意一个p1矩阵．证明：B=．(ii)设A是一个mn矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：A(B)=(AB)．(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明：A(BC)=(AB)C．4．设A=证明：当且仅当B=时，AB=BA。255．令是第i行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求．6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A(i)i,j=1,2,…,n,(ii)AB=BA；这里B是任意n阶矩阵。7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：()()=10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且§5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵．3．求下列矩阵的逆矩阵：264．设A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得(i)证明可逆，并且(ii)求下列矩阵的逆矩阵。5．设证明，总可以表成和型初等矩阵的乘积．6．令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明(区别detA≠0和detA=0两种情形)7．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB可逆,则A和B都可逆．8．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵．9．证明，一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个1n矩阵的乘积．2710.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和．11．设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵．用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵．(i)线性方程组可以改写成I是n阶单位矩阵．(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则．§5.3矩阵的分块1．求下面矩阵的逆矩阵．2．设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明3．设都是n=r+s阶矩阵，而是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法．求SA,AS,TA和AT.由此能得出什么规律？4．证明，2n阶矩阵总可以写成几个形如的矩阵的乘积．5．设28是一个对角线分块矩阵．证明:6．证明，n阶矩阵的行列式等于(detA)(detB)7．设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA≠0并且AC=CA，证明第六章向量空间§6.1定义