圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总

如何短时间突破数学压轴题还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。一、旋转：纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。旋转模型：1、三垂直全等模型三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。EDCABEDCAB2、手拉手全等模型手拉手全等基本构图：CCCABDEABDEEDBAEDCBAEDCBAABCDEEDCBAEDCBA3、等线段、共端点(1)中点旋转(旋转180°)(2)等腰直角三角形(旋转90°)A'DCBAF'D'FEDCA(3)等边三角形旋转(旋转60°)(4)正方形旋转(旋转90°)②①FEDCBAPFEDCBAGFEDCBA4、半角模型半角模型所有结论：在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.求证：NMFEDCBAGOAHNMFEDCB(1)BE+DF=EF；(2)S△ABE+S△ADF=S△AEF；(3)AH=AB；(4)C△ECF=2AB；(5)BM2+DN2=MN2；(6)△DNF∽△ANM∽△AEF∽△BEM；相似比为1：2(由△AMN与△AEF的高之比AO：AH=AO：AB=1：2而得到)；MEDCBA(7)S△AMN=S四边形MNFE；(8)△AOM∽△ADF，△AON∽△ABE；(9)∠AEN为等腰直角三角形，∠AEN=45°.(1.∠EAF=45°；2.AE：AN=1：2)解题技巧：1.遇中点，旋180°，构造中心对称例：如图，在等腰ABC△中，ABAC，ABC，在四边形BDEC中，DBDE，2BDE，M为CE的中点，连接AM，DM．⑴在图中画出DEM△关于点M成中心对称的图形；⑵求证：AMDM；⑶当___________时，AMDM．[解析]⑴如图所示；⑵在⑴的基础上，连接ADAF，由⑴中的中心对称可知，DEMFCM△≌△，∴DEFCBD，DMFM，DEMFCM，∵360ABDABCCBDBDEDEMBCE360DEMBCE，360360ACFACEFCMBCEFCM，∴ABDACF，∴ABDACF△≌△，∴ADAF，∵DMFM，∴AMDM．⑶45．2.遇90°。旋90°，造垂直；例：请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2ABCDE[解析]⑴222DEBDEC证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE∴AECABE≌∴BEEC，AEAE，CABE，EACEABFMEDBACDCBAABCDABCDE'EDCBAFEDCBA在RtABC中∵ABAC∴45ABCACB∴90ABCABE即90EBD∴222EBBDED又∵45DAE∴45BADEAC∴45EABBAD即45EAD∴AEDAED≌∴DEDE∴222DEBDEC⑵关系式222DEBDEC仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE∴AFDABD≌∴AFAB，FDDBFADBAD，AFDABD又∵ABAC，∴AFAC∵45FAEFADDAEFAD9045EACBACBAEDAEDABDAB∴FAEEAC又∵AEAE∴AFEACE≌∴FEEC，45AFEACE180135AFDABDABC∴1354590DFEAFDAFE∴在RtDFE中222DFFEDE即222DEBDEC3.遇60°，旋60°，造等边；例：已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=；（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.图1图2图3EDCBADABCE解：（1）33；…………………………………………1’（2）2363；…………………………………………2’（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.…………………………………………4’当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CEAE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.4.遇等腰，旋顶角。综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。BCDAOADBOC二、圆1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：①利用垂径定理；②直接作垂线构造直角三角形；ααO③构造所对的圆周角；④连接圆心和切点；Oα(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：半径相等12O圆周角=圆周角O12圆心角=2圆周角12O弦切角=圆周角O21射影定理模型O12综合利用各种方法O2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；O3r-2r26r6-r2O(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线Oα段长度，常见的圆中相似情形如下：△ADE∽△ACBEDCBA△ADE∽△BCEEDCBA△ABD∽△CAD∽△CBACODAB△ABC∽△ADB∽△BDCBODAC△ABO∽△ADB∽△BDODOCBA△ABC∽△OBDODCBA注：圆中的中档题目，学校会留很多，在此就不放了，来两道有意思的题目。8．如图，AB是O直径，弦CD交AB于E，45AEC，2AB．设AEx，22DyCEE．下列图象中，能表示y与x的函数关系是的（）A．B．C．D．答案：A3/21/21221Oxy1221Oxy1221Oxy1221Oxy8.如图，以(0,1)G为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点，CFAE于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为A．32B．33C．34D．36答案：B(0,1)I