2016年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

第1页（共20页）2016年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|x2﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{x|x}B．{x|﹣≤x≤﹣1}C．{x|﹣}D．{x|﹣1}2．已知向量=（3，2），=（﹣1，1），则|2|=（）A．B．C．5D．3．命题“∃x0∈R，x”的否定形式是（）A．∃x0∈R，xB．∃x0∈R，xC．∀x∈R，x2=1D．∀x∈R，x2≠14．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）6．在下面图案中，图（1）是边长为1的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列{an}，则a10=（）A．9B．10C．11D．127．双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以OF2为直径的圆交双曲线于A，B两点，若△F1AB的外接圆过点（，0），则该双曲线的离心率是（）第2页（共20页）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+mx+n2，g（x）=x2+（m+2）x+n2+m+1，其中n∈R，若对任意的n，t∈R，f（t）和g（t）至少有一个为非负值，则实数m的最大值是（）A．1B．C．2D．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=1，S4=8，则a5=______，S10=______．10．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）在区间[2，4]上是增函数，且f（2）=﹣1，f（4）=1，则f（3）=______，f（x）的一个单调递减区间是______（写出一个即可）11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是______，体积是______．12．已知圆O：x2+y2=r2与圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）在第一象限的一个公共点为P，过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B（异于P点），且OA⊥OB，则直线OP的斜率是______，r=______．13．在△ABC中，BC=6，M1，M2分别为边BC，AC的中点，AM1与BM2相交于点G，BC的垂直平分线与AB交于点N，且•﹣•=6，则•=______．14．已知实数x，y满足x2+y2=4，则4（x﹣）2+（y﹣1）2+4xy的取值范围是______．15．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，，则顶点D到平面α的距离是______．三、解答题（共5小题，满分75分）16．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=，D为BC的中点，过点D作DQ∥AP，且DQ=1，连结QB，QC，QP．（1）证明：AQ⊥平面PBC；第3页（共20页）（2）求二面角B﹣AQ﹣C的平面角的余弦值．18．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）．（1）当a＞0时，关于x的方程f（x）=a有三个相异实根x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，求的取值范围；（2）当a≤1时，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，若M﹣m=4，求a的值．19．已知椭圆C：的焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．20．已知数列{an}满足a1=1，an+1=（n∈N+）．（1）证明：an+1＜an；（2）证明：；（3）证明：an．第4页（共20页）2016年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|x2﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{x|x}B．{x|﹣≤x≤﹣1}C．{x|﹣}D．{x|﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．【解答】解：集合A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={x|x2﹣2≤0}={x|﹣≤x≤}，则A∩B={x|﹣1≤x≤}，故选：D．2．已知向量=（3，2），=（﹣1，1），则|2|=（）A．B．C．5D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，求得2+的坐标，可得|2|的值．【解答】解：∵向量=（3，2），=（﹣1，1），∴2+=（5，5），则|2|==5，故选：C．3．命题“∃x0∈R，x”的否定形式是（）A．∃x0∈R，xB．∃x0∈R，xC．∀x∈R，x2=1D．∀x∈R，x2≠1【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x”的否定形式是：∀x∈R，x2≠1．故选：D．4．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由二倍角公式可得cos（﹣2α），整体利用诱导公式可得cos（2）=﹣cos（﹣2α），代值可得．第5页（共20页）【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=﹣故选：A5．若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，可得直线过定点D（﹣1，1），斜率为﹣m，结合图象可得m的不等式组，解不等式组可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图△ABC即内部，不包括边界），直线m（x+1）﹣y=0，可化为y=m（x+1），过定点D（﹣1，0），斜率为m，存在实数x，y满足，则直线需与区域有公共点，，解得B（，），，解得A（，）KPA==，KPB==，∴＜m＜，第6页（共20页）故选：D．6．在下面图案中，图（1）是边长为1的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列{an}，则a10=（）A．9B．10C．11D．12【考点】数列递推式；归纳推理．【分析】根据已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的{an}的通项公式，可得答案．【解答】解：∵图（1）是边长为1的正方形，∴a1=1，结合勾股定理可得：a2=2，a3=3，a4=4，…归纳可得：an=n，（n∈N*），故a10=10，故选：B第7页（共20页）7．双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以OF2为直径的圆交双曲线于A，B两点，若△F1AB的外接圆过点（，0），则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），分别求出OF2为直径的圆的方程和外接圆的直径为F1M，运用两圆方程求得交点A，B，代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），OF2为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，由△F1AB的外接圆过点M（，0），即M（c，0），即有外接圆的直径为F1M，可得圆的方程为（x+）2+y2=，两圆的方程相减可得x=c，代入圆的方程可得y=±c，可设A（c，c），代入双曲线的方程可得•﹣•=1，由b2=c2﹣a2，e=，可得4e4﹣15e2+9=0，解得e2=3或（舍去），即有e=．故选：B．8．设函数f（x）=x2+mx+n2，g（x）=x2+（m+2）x+n2+m+1，其中n∈R，若对任意的n，t∈R，f（t）和g（t）至少有一个为非负值，则实数m的最大值是（）A．1B．C．2D．【考点】函数的值．第8页（共20页）【分析】作差g（t）﹣f（t）=2t+m+1，从而可知t≥﹣时g（t）≥f（t），从而化为g（t）=t2+（m+2）t+n2+m+1在t≥﹣时g（t）min=（﹣+）2+n2+m+1﹣≥0恒成立，从而可得|m|≤1；从而结合选项解得．【解答】解：∵g（t）﹣f（t）=t2+（m+2）t+n2+m+1﹣（t2+mt+n2）=2t+m+1，∴当2t+m+1≥0，即t≥﹣时，g（t）≥f（t），而g（t）=t2+（m+2）t+n2+m+1=（t+）2+n2+m+1﹣，∵﹣＞﹣，∴g（t）min=（﹣+）2+n2+m+1﹣≥0恒成立，即m2≤1+4n2恒成立，故|m|≤1；结合选项可知，A正确；故选：A．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=1，S4=8，则a5=7，S10=80．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的前n项和为Sn，∵a2=1，S4=8，∴a1+d=1，4a1+d=8，解得a1=﹣1，d=2．则a5=﹣1+2×4=7，S10=10×（﹣1）+×2=80．故答案分别为：7；80．10．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）在区间[2，4]上是增函数，且f（2）=﹣1，f（4）=1，则f（3）=0，f（x）的一个单调递减区间是[0，2]（写出一个即可）【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数图象可知函数的周期，再求ω的值，由已知点求出φ的值，写出函数解析式，将3代入求出f（3）的值，再求出函数的单调递减区间即可【解答】解：f（2）=﹣1，f（4）=1，f（x）在[2，4]上是增函数可知：f（x）的周期为T=4，∴，φ=f（x）=sin（x+）=cosx∴f（3）=cos=0第9页（共20页）f（x）的单调递减区间为[4k，4k+2]k∈Z故答案为：0，[0，2]．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是，体积是4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由位置关系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图：且PA⊥平面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，AD⊥CD、AD∥BC，BC=CD=2、AD=4，取AD的中点E，连接BE，则BE∥CD，AE=BE=2，∴由勾股定理得，AB=PC=BD=2，PB=，PA=2，∵PB2=BC2+PC2，PA2=AB2+PB2，∴AB⊥PB，PC⊥BC，∴几何体和表面积：S=+=，几何体的体积V=×2=4，故答案为：；4．12．已知圆O：x2+y2=r2与圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）在第一象限的一个公共点为P，过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B（异于P点），且OA⊥OB，则直线OP的斜率是，r=2．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出点P的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径r的值．然后求出P的坐标，利用斜率公式进行求解即可．第10页（共20页）【解答】解：如图所示，圆O：x2+y2=r2与圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）的一个公共点P，∴点P的横坐标为x=1；又过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则；又OA⊥OB，∴•=x1x2+y1y2=0，且+=r2，+=r2；由此解得r=2．即圆O：x2+y2=4，当x=1时，y=±，∵P在第一象限，∴y=，即P（1，），则kOP==，故答案为：；2．13．在△ABC中，BC=6，M1，M2分别为边BC，AC的中点，AM1与BM2相交于点