因动点产生的面积问题1

【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4图5图6【典例分析】例1如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．点M(m,n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．2．把△MFQ和△MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程．3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－4)．代入点C(0,2)，得2＝－4a．解得12a．所以221131325(1)(4)2()222228yxxxxx．顶点坐标为325()28，．考点伸展第（2）题S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需点M一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，△MFQ与△MEB的高的比=4FQmMNm与n无关，两条底边的比=32MQmMEm也与n无关．如图3，因此只要点E与点M关于直线x＝32对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，点M的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．图3图4例2如图，已知抛物线212yxbxc（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．思路点拨1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．满分解答（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．直线BC的解析式为122yx．考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．学科#网例3如图，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；[②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112yx与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以5AE．所以25sin5AEO．因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此25sin5ACP．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得4230,16433.abab解得12a，12b．考点伸展第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．而252511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm，BM＝4－m．①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，19(2)(4)(4)510mmm．解得52m．②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，110(2)(4)(4)59mmm．解得329m．例4如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B(432,3)，M是OA的中点．（1）求此二次函数的解析式；（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．思路点拨1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便．2．先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形．3．把△CDA与△MDA的面积比，转化为△MCA与△MDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的比．满分解答（3）如图3，作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F．我们把面积进行两次转换：如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍，那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍．而△MCA与△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即yC∶yD＝3∶1．因此ME∶MF＝3∶1．设MF＝m，那么ME＝3m．原抛物线的解析式为3(4)3yxx，所以翻折后的抛物线的解析式为3(4)3yxx．所以D3(2,(2)(24))3mmm，C3(23,(23)(234))3mmm．根据yC∶yD＝3∶1，列方程33(23)(234)3(2)(24)33mmmm．整理，得3m2＝4．解得233m．所以23223m．所以点C的坐标为83(223,)3（如图3），或83(223,)3（如图4）．图2图3图4考点伸展第（1）题可以设抛物线的顶点式：由点O(0,0),A(4，0)，B(432,3)的坐标，可知点B是抛物线的顶点．可设243(2)3yax，代入点O(0,0)，得33a．例5如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)Ppp(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx(x＞0)和myx(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6例6如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1备用图思路点拨1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．学科#网3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．满分解答图2图3图4(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此1142sin(6)(6)2255AEFSAEAFAxxxx．解方程2(6)35xx，得1362x．因为1362x在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．因此21133sin(5)(1)(45)22510BEFSBEBFBxxxx．解方程23(45)310xx．整理，得2450xx．此方程无实数根．【变式训练】1.(2017山东滨州第12题)在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝1x相交于点A、B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为（）A．23＋3或23－3B．2＋1或2－1C．23－3D．2－1【答案】A.2.（2017江苏苏州第10题）如图，在菱形CD中，60，D8，F是的中点．过点F作FD，垂足为．将F沿点到点的方向平移，得到F．设、分别是F、F的中点，当点与点重合时，四边形CD的面积为A．283B．243C.323D．3238【答案】A.7382832SLKH故答案选A.考点：平行四边形的面积，三角函数.3.（2017青海西宁第10题）如图，在正方形ABCD中，3ABcm