整体把握分数意义的教学张丹

整体把握“分数意义”教学北京教育科学研究院儿童数学教育研究所张丹经常思考的6个问题你打算让学生学习什么内容你能想到与这个内容有关的哪些内容为什么说这个内容是重要的学生学习这个内容的知识和经验基础是什么学生在学习的过程中可能出现哪些困难帮助学生学会这个内容的策略是什么研究的缘起一二三整体把握分数的意义分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析一、研究的缘起——“有趣”的现象分数的意义不难把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。把整体平均分成了3份，如何能取到4份呢？一共才有3份呀？你是如何理解的?怎么会有假分数的存在？一、研究的缘起——“有趣”的现象1÷3=?分数是一个数吗？能表示运算结果吗？1÷3=0.3一、研究的缘起——“有趣”的现象困惑不难学生到底要理解什么？如何促进学生的理解？一、研究的缘起——“有趣”的现象二、整体把握分数的意义史宁中提出理解分数意义的两个基本方面作为有理数出现的一种数，参与运算以比的形式出现的数Kieren的研究提出分数的五个构想部分/整体比率商度量运算Dckson,Brown和Gibson提出分数五种形式表达部分/整体子集/集合数轴上两个整数间的一点除法运算的结果两个量的比分数的意义分数的意义运算比商测量指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程二、整体把握分数的意义分数的意义二、整体把握分数的意义比指部分与整体的关系和两个量之间比的关系指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程从“数量比”到“份数比”分数的意义二、整体把握分数的意义比指部分与整体的关系和两个量之间比的关系指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程从“数量比”到“份数比”从部分与整体的关系到两个量之间的关系小红小丽部分与整体的关系整比例关系（史宁中）分数的意义二、整体把握分数的意义测量指部分与整体的关系和两个量之间比的关系指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程里面有3个，就是用作为单位测量3次的结果。分数的意义运算指部分与整体的关系和两个量之间比的关系指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程6张纸的是多少张纸？二、整体把握分数的意义分数的意义商指部分与整体的关系和两个量之间比的关系指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果二、整体把握分数的意义分数的意义商运算比指部分与整体的关系和两个量之间比的关系测量指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果指分数转化为除法之后运算的结果指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程二、整体把握分数的意义比测量运算商q两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，既是运算的过程，又是运算的结果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分饼用分数表示分得的结果，了解真分数、假分数和带分数分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的再认识（二）侧重分数的“测量”理解分数的意义三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析整体设计——设计系列学习活动整体定位建构多方面理解三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的意义挑战性学习素材学生作答？？前测设计意图：分割线存在与否、图形的排列方式是否会对学生产生一定的影响呢？（对一个班的学生进行了连续三次的学生测试）为什么会这样设计简要分析：•绝大多数学生均不能够从数量比直接转化为份数比；•所分图形结构化程度直接影响学生将数量比提炼到份数比。思考：•如何使学生能够自主建构图形之间的“分割线”？•怎样的教学活动可以让学生经历一个不断清晰的结构化的过程，从而对分数的认识产生进一步的深入理解？前测分析基本上没有困难，遇到不是整块数时，多数学生用小数表示学习过程有困难，24人中仅有3人操作后直接写出，7人通过数量比（或是扩比）表达对关系的理解,有14人出现不同类型的错误。学习过程能把你刚才几次分口香糖的情况用图来画一画吗？【设计意图】是将学生动手分的活动更加显性化，让学生能够更加直观便捷的发现部分与整体的关系；当学生在第一次尝试画、第二次、第三次自主选择数量画时，希望此积累有助于学生发现三次分的共性。学习过程回头看看刚才填的表格，现在有没有新的想法？不会或是有困难的空格能否试着填一填?【设计意图】当学生经历了动手操作、填表格、画一画的过程后，让学生静下来回顾、整理自己的思考过程。学习方式完成人数独立学习3教师访谈4+2学习过程同伴交流、教师指导。（将学生几次分的结果摆放在一起，捂住自己的一份，感受部分与整体的关系）【设计意图】为经历了独立思考后没有发现关系的学生搭建平台，在合作和教师指导下也能发现部分与整体的关系。学习过程具体数量完全淡化，24人全部发现了部分与整体的关系份数比数量比画一画捂一捂空间的大小、引导的时机决定着学生能独立行走多远！学习过程三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的意义挑战性学习素材学生作答圈画？？整体观察动作表征建立“概念图像”41三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的意义挑战性学习素材学生作答圈画整体观察动作表征建立“概念图像”？？三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析这一学习素材还贯穿于后续的“用分数表达结果”、“分数与除法的关系”、“分数的基本性质”及练习课的教学中比测量运算商q两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，既是运算的过程，又是运算的结果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分饼用分数表示分得的结果，了解真分数、假分数和带分数分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的再认识（二）侧重分数的“测量”理解分数的意义三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析整体设计——设计系列学习活动整体定位建构多方面理解沙发1个领带沙发dm比测量运算商q两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，既是运算的过程，又是运算的结果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分饼用分数表示分得的结果，了解真分数、假分数和带分数分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的再认识（二）侧重分数的“测量”理解分数的意义三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析整体设计——设计系列学习活动1.整体定位建构多方面理解请仔细观察，找找青苹果和红苹果间存在着什么样的数量关系。青苹果是红苹果的3倍；红苹果是青苹果的多少呢？如果增加1个红苹果，现在的红苹果是青苹果的几分之几？青苹果又是红苹果的几分之几？三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果学习效果测试学校及班级选择：海淀区三所不同特点的学校（2所市区校、1所农村校；整体学习水平分别为优秀、中等和偏弱），每所学校选择了实验班和对照班。三所学校实验班的人数分别为36、34、24人；对照班的人数分别为35、35、25人。实验班学生的学习基础均等于或略低于对比班的基础。实验班和对照班教师的水平基本相当。三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析实验班与对照班对于分数的理解水平相当，对照班略强于实验班三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果分数的再认识（二）侧重分数的“测量”理解分数的意义实验班与对照班在分数测量方面得分率分数测量方面的理解明显好于对照班。三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数的意义实验班与对照班在分数刻画两个量之间关系方面得分率分数刻画两个量之间的（整比例）关系明显好于对照班。三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果学生后测三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果学生后测三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果学生后测三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果学生后测分数表示部分与整体关系方面（图形摆放不整齐、份数不明显）的得分率实验班的情况要明显好于对照班，说明整体教学设计起到了作用。三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果学生后测分数表示部分与整体关系方面（图形摆放不整齐、份数不明显）的得分率画图的情况与分数表示的情况基本一致。画图的情况明显好于分数表示。学生画图获得答案相对比较容易，但不能将画图与分数表示联系起来。三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，既是运算的过程，又是运算的结果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分数的意义学生后测分数表示部分与整体关系方面（图形摆放不整齐、份数不明显）的得分率无论是实验班还是对照班，学生的后测成绩都不很高，特别是分得的结果为假分数的情况，看来学生理解此类问题还是比较困难的。比测量运算商三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，既是运算的过程，又是运算的结果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分饼用分数表示分得的结果，了解真分数、假分数和带分数分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的再认识（二）侧重分数的“测量”理解分数的意义2.设计挑战性的、贯穿整个学习历程的素材比测量运算商三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果两个量之间的关系刻画两个量之间的（整比例）关系分数与除法从“运算”和“商”的角度认识分数，既是运算的过程，又是运算的结果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分饼用分数表示分得的结果，了解真分数、假分数和带分数分数的再认识（一）进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比”分数的再认识（二）侧重分数的“测量”理解分数的意义3.运用对于分数多方面的理解来解决问题比测量运算商三、分数意义教学的整体设计及学生学习效果分析设计是否合理——学生学习效果分数的基本性质运用学习过的对于分数理解的不同方面，加深对分数意义“比”的理解分数的意义3.运用对于分数多方面的理解来解决问题以往教学，大多把重点放在了通过例子归纳规律——表达规律上，对于解释为什么一组分数相等采取了比较单一的方式（或者从图中部分与整体的关