18.2.1.2矩形的判定

第十八章平行四边形18.2.1.2矩形第2课时矩形的判定四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：边：对边平行且相等角：对角相等邻角互补四个角都是直角对角线：相等且互相平分知识回顾1、矩形的四个内角都是______。2、矩形的对角线______且__________。相等互相平分3、在直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的_______。4、在直角三角形中，斜边上的______等于斜边的______。30°一半中线一半直角课前热身假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框是矩形？（直角尺等）矩形的判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.∵在ABCD中∠B=90°∴四边形ABCD是矩形ABCD∟几何语言有一个角是直角有两个角是直角有三个角是直角的四边形是矩形吗？李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？有三个角是直角的四边形是矩形你能证明上述结论吗？ABDC已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形ABCD有三个角是直角的四边形是矩形ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,注意观察两条对角线的长度.问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？α猜想：当两条对角线长度相等时,平行四边形是矩形.已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD对角线相等的平行四边形是矩形.定理证明：过点C作CE∥BD交AB的延长线与E，∵BD∥CE，BE∥CD∴四边形BECD为平行四边形∴CD=BE.又∵AB=CD∴AB=BE即：B为AE的中点又∵AC=BDBD=CE∴AC=CE∴CB⊥AE综上所述：四边形ABCD为矩形.E证法2对角线相等的平行四边形是矩形.定理ABCDO∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD∴四边形ABCD是矩形对角线相等的平行四边形是矩形几何语言：测量…？现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格方案一:方案二:方案三:有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：矩形的判定方法1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;××××√√√√（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形.2.如图,□ABCD中,∠1=∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ABCDO12解：四边形ABCD是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO,DO=BO.又∵∠1=∠2∴AO=BO∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形.3.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（）A.菱形B.平行四边形C.矩形D.不能确定DEFMNQPABCC例1如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．ABCDO解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，12OB=OD=BD.12又OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.例2已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BDAO=BO=CO=DO∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.若变为：E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，你会吗？思考例3已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．证明：在□ABCD中，AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的角平分线ABDCHEFG∴四边形EFGH是矩形．同理可证∠AED=∠EHG=90°∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=9001212例4.△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，（1）试说明OE=OF.（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的理由.MNBCDEOFA∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴OE=OF，OF=OC，∴OE=OF；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，OA=OC，又∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OF=OC，∴OA=OC=OE=OF，∴OA+OC=OE+OF即AC=EF，∴四边形AECF是矩形.解:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明.矩形的判定定义判定定理回顾☞对角线互相平分且相等的四边形是矩形.