高中数学2.2.3圆与圆的位置关系课件苏教版必修

2．2.3圆与圆的位置关系【课标要求】1．掌握判断两个圆的位置关系的方法，当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．2．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是否是两圆的公切线．【核心扫描】1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．(重点)2．用坐标法判断两圆的位置关系．(难点)自学导引1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：、、、、．外离外切相交内切内含位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|d|r1－r2|2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：设两圆方程分别为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，联立方程得x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.若方程组有两组不同的实数解⇔两圆；方程组有唯一实数解⇔两圆；方程组无实解⇔两圆．相交相切相离想一想：1.如何求两圆公共弦所在的直线方程？提示将两圆方程相减，消去x2＋y2项，所得二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．2．方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示什么样的曲线方程？提示表示过两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点(如果有的话)的曲线方程(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0除外)，因而它过定点即为这两个圆的交点．名师点睛1．两圆位置关系的判定方法中，由于代数法比较麻烦，所以我们一般用几何方法．2．过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，此圆系中不包含圆C2.当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)．当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．3．过直线与圆交点的圆系方程：设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程.题型一判断两圆的位置关系【例1】圆O1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋194＝0的位置关系是________．[思路探索]本题主要考查两圆位置关系的判断，关键是看圆心距和两圆半径的关系．答案相交规律方法由几何法判断两圆的位置关系是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．解两圆的圆心和半径分别为O1(1，－2)．r1＝1；O2(2，－1)．r2＝12，则圆心距d＝O1O2＝1－22＋－2＋12＝2，由1－12＜d＜1＋12得两圆相交，故填“相交”．【训练1】若圆x2＋y2＝m和圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．解析本题主要考查两圆的位置关系，两圆有公共点时，它们只能是内切、外切或相交，因此圆心距d满足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，即|6－m|≤5≤m＋6，从而1≤m≤11,1≤m≤121.答案1≤m≤121题型二两圆的相交弦问题与公切线问题【例2】已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A、B两点，求弦AB的长．[思路探索]本题主要考查两圆的相交弦问题，关键要寻找关于弦AB的相关量．由于两圆方程已知，可先求A、B的坐标，再求弦长；也可转化为直线AB与圆C1或圆C2的相交问题．解法一两圆方程相减得4x＋3y－10＝0，即为两圆相交弦所在直线AB的方程．由4x＋3y－10＝0，x2＋y2－10x－10y＝0，解得x＝－2，y＝6或x＝4，y＝－2.∴A，B的坐标分别为(－2,6)，(4，－2)．∴AB＝－2－42＋6＋22＝10.即弦AB的长为10.法二由法一得直线AB为4x＋3y－10＝0，C1到直线AB的距离为d＝|20＋15－10|5＝5，而圆C1的半径为r＝52.由圆的性质可知AB＝2r2－d2＝250－25＝10.法三圆C1的圆心为(5,5)，r1＝52，圆C2的圆心为(－3，－1)，r2＝52，∴C1C2＝5＋32＋5＋12＝10.∴四边形AC1BC2是正方形．∴AB＝C1C2＝10.规律方法(1)两圆的相交问题可由两圆方程相减，先得到公共弦所在直线方程，从而将问题转化为直线与圆的相交问题，法二就充分体现了这一点．(2)两圆圆心的连线垂直平分这条弦．【训练2】已知圆O1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0和圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求圆O1，圆O2的公切线方程．解首先判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解．圆O1的圆心坐标为O1(－1，－3)，r1＝1，圆O2的圆心坐标为O2(3，－1)，r2＝3.则O1O2＞r1＋r2，∴两圆相离，有四条公切线．设切线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.则|－k＋3＋b|k2＋1＝1，|3k＋1＋b|k2＋1＝3.两式相除得|3k＋1＋b|＝3|－k＋3＋b|.化简得b＝3k－4或b＝－52.当b＝3k－4时，代入|－k＋3＋b|k2＋1＝1，得|2k－1|＝k2＋1，解得k＝0或43.即k＝0时，b＝－4，k＝43时，b＝0.此时切线方程为y＋4＝0或4x－3y＝0.当b＝－52时，代入|－k＋3＋b|k2＋1＝1，得－k＋12＝k2＋1，解得k＝－34.此时切线方程为3x＋4y＋10＝0.当斜率不存在时，直线x＝0与两圆也相切．综上所述，所求公切线方程为y＋4＝0或4x－3y＝0或x＝0或3x＋4y＋10＝0.题型三求与两圆位置有关的圆的方程【例3】求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0交点的圆的方程．审题指导本题主要考查圆的方程的求法．根据条件可利用待定系数法或直接法求解．[规范解答]法一由x2＋y2－4x－6＝0，x2＋y2－4y－6＝0得到两圆公共弦为y＝x，由y＝x，x2＋y2－4y－6＝0，解得x1＝－1，y1＝－1或x2＝3，y2＝3.∴圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、B(3,3)，(5分)线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)．由y－1＝－x－1，x－y－4＝0，得x＝3，y＝－1.∴所求圆的圆心为(3，－1)，(10分)半径为3－32＋[3－－1]2＝4.(12分)∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.(14分)法二由法一，求得A(－1，－1)、B(3,3)(5分)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(7分)则由a－b－4＝0，－1－a2＋－1－b2＝r2，3－a2＋3－b2＝r2，得a＝3，b＝－1，r2＝16(12分)∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16(14分)法三设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，(2分)即x2＋y2－41＋λx－4λ1＋λy－6＝0.(5分)∴圆心坐标为21＋λ，2λ1＋λ，(8分)又圆心在直线x－y－4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13，(12分)∴所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.(14分)【题后反思】本题的法三是运用圆系知识求解的，利用圆系方程求解有关圆的问题的基本思路是：设所求圆的方程为圆系方程，根据已知条件建立关于参数λ的方程f(λ)＝0，根据题意解出λ并代回圆系方程即可(从实质上讲这是待定系数法)．利用圆系方程的优点是避免解方程组求交点的繁琐，能简化运算，但要注意，有时因忽视解的存在性而导致增解或因不注意所设圆系方程中不含圆C2而失掉圆C2这样的解，故要慎重使用．【训练3】求过原点且与直线x＝1及圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的圆的方程．解设所求圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，如图，由题可知，此圆与已知圆只能外切，则有a2＋b2＝r2，1－a＝r，a－12＋b－22＝r＋1，解得a＝38，b＝12，r2＝2564.故所求圆的方程为x－382＋y－122＝2564.误区警示忽视相切的含义【示例】求半径为4，且与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0和直线y＝0都相切的圆的方程．[错解]由题意，知所求圆与直线y＝0相切且半径为4，可设圆心坐标为O1(a,4)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝32，则圆心为O2(2,1)，半径为3.若两圆相切，则|O1O2|＝3＋4＝7，所以a－22＋4－12＝7，解得a＝2±210.故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.与直线y＝0相切的圆的圆心可能出现在直线的任一侧，错解中只考虑了圆心在直线y＝0上方的情况，忽视了圆心在直线y＝0下方的情况．另外，两圆相切有两种情况：内切和外切，应分情况讨论，以免漏解．[正解]所求圆与直线y＝0相切且半径为4，则设圆心为O1(a,4)或(a，－4)．圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心坐标为O2(2,1)，半径为3.若两圆相切，则O1O2＝3＋4＝7或O1O2＝4－3＝1.(1)当圆心为(a,4)时，a－22＋4－12＝7或a－22＋4－12＝1(无解)，解得a＝2±210，故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16；(2)当圆心为(a，－4)时，a－22＋－4－12＝7或a－22＋－4－12＝1(无解)，解得a＝2±26，故所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上可知，半径为4，且与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0和直线y＝0都相切的圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16，或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.本题所求圆与已知圆半径差为1，而两个圆心的纵坐标之差的绝对值大于3，故内切是不可能的，但解题中不考虑内切情况是不严密的．