固体物理复习总结

第三章晶格振动总结三维晶格振动、声子一维晶格振动确定晶格振动谱的实验方法晶体比热晶体的非简谐效应长波近似振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)2项,3次方以上的高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项的近似)。nknknkrnkxxruf022dd022ddrnkru格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。一维晶格振动在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。模型运动方程试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢q取值11..nnnnxxxxnmxnaqtinAxe2sin2aqmaqaππNnnxxn-2nn+1n+2n-1ammoaπaπm2一维双原子链振动2n-22n2n+12n+22n-1MmaaqntinAx1212enxM2..nnnxxx21212212..nxm122222nnnxxxnaqtinBx22e}2cos2){(222aqmMMmMmmM,)(22Nnnxxaqa2π2πoqa2πa2πOA3nN种声子3N种声学声子，(3n-3)N种光学声子。3nN个振动模式晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。声子：晶格振动的能量量子。能量为,准动量为。q三维晶格振动、声子长波近似长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。离子晶体的长光学波Wb11(1)式代表振动方程，右边第一项为准弹性恢复力，第二项表示电场附加了恢复力。E(2)式代表极化方程，表示离子位移引起的极化，第二项表示电场附加了极化。Wb21E)2()1(22211211EbWbPEbWbW---黄昆方程1.黄昆方程sLT2020---著名的LST关系光频介电常量静电介电常量ToLos,)1(0TOS02/1(2)铁电软模(光学软模)3.极化声子和电磁声子因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子。2.LST关系确定晶格振动谱的实验方法中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。1.方法：2.原理(中子的非弹性散射)3.仪器：三轴中子谱仪。)q(MPM'Pnn2222hKqP'P由能量守恒和准动量守恒得：“+”表示吸收一个声子“-”表示发射一个声子2.频率分布函数定义：nlim0)(nsqcqsV313dπ2计算：晶体比热3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型1.固体比热的实验规律(1)在高温时，晶体的比热为3NkB；(1)晶体中原子的振动是相互独立的；(2)所有原子都具有同一频率；(3)设晶体由N个原子组成,共有3N个频率为的振动。(1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波；(2)有一支纵波两支横波；DB0d211e)(ETk211e3BTkNE爱因斯坦模型德拜模型23D9N(3)晶格振动频率在之间(D为德拜频率)。D0~22EE1eeEETTTTfTfNkCVEEB3TfNkCVDB3xxTTfTxxd1ee34023DDD高温时与实验相吻合，低温时以比T3更快的速度趋于零。高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。爱因斯坦模型德拜模型1.非简谐效应：3.晶体的热膨胀现象：4.晶体的热传导现象：vCV313TT1高温时:低温时:dedeBBTkuTkuTkcgB24333322200003121RRRU!RU!)R(U)R(U32gc2.声子与声子相互作用：)2()1(321321hKqqq晶体的非简谐效应第五章能带理论总结布洛赫定理近自由电子近似平面波方法紧束缚近似晶体中电子的速度、加速度和有效质量导体、半导体和绝缘体布洛赫定理在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。rurkrkikenkkRruru,rRrnRkin)(e)(布洛赫波函数具有如下特点：)()(rrhKkk)321(22，，，ibkbiii在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数)。22d)e(1aaikxnxxVaV22π2d)e(1aanxaixxVaikxnnVxVe)(22d)e(1aaikxnxxVaV1.模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。近自由电子近似2.势场:220)d(1aaxxVaV是势能的平均值其中。)(exukikxnnxainikxnakkmV'L222π2)π2(2e1e1)(xknnknakkmV'mkE222222)π2(22LAAxikxk1e)(0，mkEk22203.波函数和能量(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为；nV2(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。4.结论:电子能带的三种图示法(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带；(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有能带)；(c)周期区图：在每一个布里渊区周期性地画出所有能带(强调任一特定的波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大。5.能带图平面波方法mmkrKimKVrV)e()(mmmmkrKimkrKimKV'VKV)r(V)e()e(0rkirkikΩNVre1e1)(0mkEk22201.模型：2.势场和波函数：llKrKilrkikKaΩNr)e(e1)(平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。0)0()()(2)(22222aKVKamkkKmnnn0)()()0()(222nnKaKVakEmk0)()(2)0()(22nnKakEmkaKV)(2)(22nKVmkkE将代入薛定谔方程)(rk:)()()(得rkErHˆkk发生能量不连续的波矢满足的条件可改写为:k0)2(nnKkK对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。3.结论：0nKk'knK晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。)(nRrVmRmatnatRrVRrVrV)()('2.势场紧束缚近似1.模型nnRnatRkiRrNr,k)(e1)(3.波函数nsnRsnRRkissatJ'JEkE)(e)(4.能量表达式：5.能带宽度：minmaxEEEkkEm2211)(1kEvkk)()(kvkvzyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEaaa22222222222221晶体中电子的速度、加速度和有效质量1.电子运动速度2.电子有效质量与加速度Fma*1有效质量m*是固体物理学中的一个重要的概念。（1）m*不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；（2）m*不是一个常数，而是的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；k（3）m*可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，m*总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。1.满带、导带、近满带和空带(1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。(2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为空态。(3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数空态。(4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。导体、半导体和绝缘体2.导体、半导体和绝缘体的能带导带有导带导体半导体禁带窄禁带半导体空带禁带绝缘体空带绝缘体禁带宽3.空穴空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+e。(2))()(eekEkEhhekkh(1)(3))()(ekvkvh(4)**hmme满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。第一节自由电子气的能量状态1金属中自由电子的运动方程和解2波矢空间和能态密度3自由电子气的费米能量本节主要内容：EZEZENEdd)(lim02.能态密度(1)定义:(2)计算:波矢密度两个等能面间的波矢状态数两等能面间的电子状态数能态密度)d(π23两等能面间的体积空间EE~EkVC两等能面间的波矢状态数：EE~Ed考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，)d(π22d3两等能面间的体积空间EE~EkVZCksVCddπ223EEsVEkCddπ223kykxsdkdEEdEkEEK)d(d能态密度:EZENdd)(EkCEsVdπ223例1：求金属自由电子气的能态密度kmkEdd2mkE222)(22222zyxkkkm金属中自由电子的能量mkEk2法1.23π4π)2(2kmVCmkkVENC223π4π)2(2)(mEmVC2π4π)2(22321323)2(π4EhmVC21CEEZddEmkE222222mEk法2.金属中自由电子的能量mEmVC2π4π)2(223kkVZCd4ππ22d23kykxEEdEkkVZCd4ππ22d23EmEmmEVZCd224ππ22d223EEmVCd)(2π24π321233EEhmVCd2π421232其中2322π4