二项式系数与各项的系数辨析

全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导咨询电话：[phone]范老师1二项式系数与各项的系数辨析一、基础知识1、二项式系数与各项的系数的区别：二项展开式中各项的二项式系数为rnC),,3,2,1,0(nr，它只与各项的项数有关，而与ab、的值无关；而各项的系数则不仅与各项的项数有关，而且也与ab、的值有关，当然，在某些二项展开式（如ab、是系数为1的单项式）中，各项的系数与二项式系数是相等的。2、二项式系数性质：(1)对称性：与首末两端等距的两项，二项式系数相同，即=rnrnnCC；(2)单调性：二项式系数先单增，后单减；当n为偶数时，中间项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大(3)所有二项式系数之和为2n，即012...2nnnnnnCCCC(4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，均为；即0241351......2nnnnnnnCCCCCC；二、有关二项式系数的性质及计算的问题：例1、nx)21(的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：556)2(xCTn，667)2(xCTn，依题意有8226655nCCnn∴8)21(x的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(xxCT；设第1r项系数最大，则有65222211881188rCCCCrrrrrrrr.∴56rr或∴系数最大的项为67561792,1792xTxT.【评注】：①、求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时中间一项的二项式系数最大。②、求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得。例2、在52)23(xx的展开式中x的系数为（）A、160B、240C、360D、800全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导咨询电话：[phone]范老师2分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用.应想办法将三项式化为二项式求解.解：由5552)2()1()23(xxxx，知5)1(x的展开式中x的系数为45C，常数项为1，5)2(x的展开式中x的系数为4452C，常数项为52.因此原式中x的系数为45445522240CC。【评注】：多项展开通常转化为二项展开，转化的方式通常是配方，因式分解等.例3、已知7270127(12)...xaaxaxax，求(1)127...aaa；(2)1357aaaa；(3)0246aaaa分析：由7270127(12)...xaaxaxax对于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解．解：(1)∵7270127(12)...xaaxaxax，令1x，得0127...1aaaa。令0,x得01a，∴127...2aaa。(2)令1x，得7012367...32187aaaaaa；由上式得13571094aaaa；(3)02461093aaaa。【评注】：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．例4、设),()1()1()(Nnmxxxfnm，若其展开式中关于x的一次项的系数和为11，问mn、为何值时，含2x项的系数取最小值？并求这个最小值。分析：根据已知条件得到2x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题。解：1111mnCCnm211)(21222222nmnnmmCCnm499)211(55112211022nnnmn∵Nn，∴56=65nm或，或时，2x项的系数取最小值，最小值为25。【评注】：二次函数499)211(2xy的对称轴方程为211x，即x=5.5，由于5、6距5.5等距离，且对Nn，56、距5.5最近，所以499)211(2x的最小值在5n或6n处取得。