等差等比数列的性质总结

-1-一、等差数列1.等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n）；2．等差数列通项公式：*11(1)()naanddnadnN，首项:1a，公差:d，末项:na推广：dmnaamn)(．从而mnaadmn；3．等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaaS1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．⑶数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6．等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)naand②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d）8..等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.注：12132nnnaaaaaa，-2-（4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5)若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列（6）数列{}na为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列（7）设数列na是等差数列，d为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和1.当项数为偶数n2时，121135212nnnnaaSaaaana奇22246212nnnnaaSaaaana偶11nnnnSSnananaa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.（9）等差数列{}na的前n项和mSn，前m项和nSm，则前m+n项和mnSmn(10)求nS的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即当，，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值．或求na中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为2pqn注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和d的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．-3-二、等比数列1.等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2.通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmaaq，从而得nmnmaqa或nnmmaqa3.等比中项（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4.等比数列的前n项和nS公式：(1)当1q时，1nSna(2)当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列（3）通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列（4）前n项和公式：'',,','nnnnSAABSABAABAB或为常数{}na为等比数列6.等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1nnaqa{}na为等比数列7.注意（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaaq如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q，中间项用a表示）；-4-8.等比数列的性质(1)当1q时①等比数列通项公式1110nnnnaaaqqABABq是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q②前n项和111111''1111nnnnnnaqaaqaaSqAABABAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何m,n*N,在等比数列{}na中,有nmnmaaq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若m+n=s+t(m,n,s,t*N),则nmstaaaa.特别的,当n+m=2k时,得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa(4)列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列.(5)数列{}na为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列(6)如果{}na是各项均为正数的等比数列,则数列{log}ana是等差数列(7)若{}na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8)若{}na为等比数列,则数列12naaa,122nnnaaa,21223nnnaaa成等比数列(9)①当1q时，②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{}na中,当项数为2n(n*N)时,1SSq奇偶,.(11)若{}na是公比为q的等比数列,则nnmnmSSqS例1、（1）设na是等差数列，且21512841aaaaa，求133aa及S15值。（2）等比数列na中，661naa，12812naa，前n项和Sn=126，求n和公比q。（3）等比数列中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；（4）项数为奇数的等差数列na中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。-5-解：（1）由已知可得28a，所以133aa=248a，S15=30152158151aaa2由题66,12811nnaaaa，所以6421naa或2641naa又12611qqaaSnn,所以62nq或621nq99149726983699369936992311144Saaaaaaaaaaaaaaaqq评注：分解重组，引导发现（1497aaa）、（2698aaa）与（3699aaa）的关系，从而使问题获得简单的解法。4设等差数列共2n-1项,则16758012)1(2222121nnnnaanaaSSnn偶奇所以此数列共31项.中间项57580偶奇SS评注：（1）在项数为21n项的等差数列{}na中，2+1=(+1),=,=(2+1)nSnaSnaSna奇中偶中中；（2）在项数为2n项的等差数列{}na中2+11=,=,=()nnnnnSnaSnaSnaa1奇偶．变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13项；（2）已知数列{}na是等比数列,且0na,*nN,354657281aaaaaa，则46aa9．（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是210．(4)等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.1515ba。（=6188）例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S120，S130，（1）求公差d的取值范围。（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。解：（1）02111212112daS，02131213113daS，即06011211dada，由12213daa,代入得：3724d。（2）解一：由067612aaS，013713aS可知0,076aa，所以S6最大。解二：ndndSn251222，由3724d可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。解三：22)2245(222452dddddndSn，由3724d得21322456dd。又抛物线开口向下，所以S6最大。评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）变式：(1)已知等差数列