2.3-微分的概念

2.3微分的概念内容提要1、微分的定义2、微分的几何意义3、微分的基本公式4、微分在近似计算的应用?问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.x,xxx变到设边长由,2xS正方形面积22)(xxxS.)(22xxx)1()2(.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx的主要部分；且为的线性函数关于Sx,x2xSxxx.2时的微分在为此时我们称xSxx函数的增量2.3.1.微分的定义.),(,)(,)(),()()()(,)(00000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxfyxxxx即或记作的微分对应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果的邻域内有定义在点设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy)(xodyy由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)4(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)5(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)3(线性主部很小时当dyyxxAxoxA)(例1,.13处的微分在点求函数xxy331)1(xy.)()(3332xxx)1()2(.313xdyxxy处的微分：在点函数再例如,.,03yxxxy求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x.320xxy),()2(xox的高阶无穷小是易于计算又近似问题:这个函数改变量的主要部分是否对所有函数都有?如果存在，又该如何求?dy.)(,)()(dxxfdyxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证(1)必要性,)(可微在点xxf),(xoxAy,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(0xfAxxf且可导在点即函数(2)充分性),()(xxxfy从而,)(xfxy即,)(可导在点函数xxf),(lim0xfxyx),0(0x),()(xoxxf.)(,)(Axfxxf且可微在点函数).(.xfA可导可微.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数.,,xdxdxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dxxfdy且).(xfdxdy..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy.)()(dxxfdyxxfdy可以写成故分母现在可拆开视为分子、的，在此之前是不能分拆开)(xfdxdy例2解:.02.0,23以及微分时的当求函数yxxxyxxdy)(3.32xx02.02202.023xxxxxxdy.24.00.2424082)0.022()(3333xxxy异虽然近似但是还是有差可见dyyxodyy,),(2.3.2.微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:(如图).,增量就是切线纵坐标对应的是函数的纵坐标增量从图可见dyyxx0P.dxxMQ又Q此时变化到的点从曲线上变化到从当),,(),(,000000yyxxNyxMxxxxdxxfxMQPQ)('tan0MQPQxfdxdytan)('0).(xodyNPPQyNQ而.dy2.3.3微分的基本公式dxxfdy)(基本求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221一阶微分形式的不变性dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvudarc也可微，且，均可微，设、复合函数的微分：))(()(),(4xfyxuufydxdxdududydydxxufdy或)()(dxdydxdududyxufxf)(')(')]'([dxdxdududydxxufdxxfdy或者))(')('()]'([例3解法2..,cot3dyxeyx求设)(cot)3()cot3(xdedxeddyxx.)csc3(csc322dxxexdxdxexx解法1.xexexx2csc3)'cot3(.)csc3(2dxxedyx例4解.),ln(2dyexyx求设,2122xxexxey.2122dxexxedyxx例5解.,cos31dyxeyx求设)(cos)(cos3131xdeedxdyxx.sin)(cos,3)(3131xxeexxdxxedxexdyxx)sin()3(cos3131.)sincos3(31dxxxex例6解1.),12sin(dyxy求设.12,sinxuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx解22)12cos('xydxxdxydy)12cos(2':,)(',)()()(,)(0000即而很小时，当如果的邻域内有定义在点设函数xxfdydyyxxoxAxfxxfyxxfy2.3.4微分在近似计算中的应用.)(')()(,)(')()(000000xxfxfxxfxxfyxfxxf).)((')()(,0000xxxfxfxfxxx则有：当该公式可以用于近似计算。例7解.9.09的近似值求则设函数,09.9,9,)(0xxxxf))((')()(000xxxfxfxf3.015)('0.0939.090xf0.091/6)('3)(000xxxfxf，，练习解.'12cos30的近似值求则设函数,2.30180,630,cos)(0xxxxf))((')()(000xxxfxfxf.8643.0'1230cos618030.21/2)('23cos30)(000xxxfxf，，小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导★★作业：P673.(2,4,6,8,9)5.(2,4,6)思考题？？？因为一元函数)(xfy在0x的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.