现代控制理论知识点比较

1线性系统性质状态能控性状态能观性定义设线性系统的状态方程为BuAxx，如果对状态空间中某一非零的有限点0x，可以找到容许控制)(tu（控制信号的各分量均满足平方可积条件，保证解存在且唯一，实际均满足），使得当系统以0x为初始状态，即00)(xtx，在)(tu作用下，系统在某个有限时刻01ttt，状态达到坐标原点，即0)(1tx，则称0x是系统的能控状态。如果0x为状态空间任意一点，则称系统是完全能控的。设线性系统的状态空间模型为CxyAxx，设0x为状态空间中非零有限点。将0x作为系统初始状态，即00)(xtx，若存在有限时刻01tt，使得对任意10,ttt，有0y，则称0x为该系统的不能观状态。对于一个系统而言，只要状态空间中存在不能观状态，则称该系统不是状态完全能观的；反之，称系统是完全能观（任一状态初值均可唯一确定）的。传递函数形式nnnnnnnnasasasbsbsbsbsUsYsG1111110)()()(微分方程形式)()()()()()()()()1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tubtubtubtubtyatyatyatynnnnnnnnDuCxyBuAxx)()()()()()(sDUsCXsYsBUsAXssX)()()(1sUDBAsICsYDBAsICsUsYsG1)()()()(2矩阵形式uxxxxaaaaxxxxnnnnnn10001000010000101211210121ubxxxxabbabbabbabbynnnnnnnnnnn12111221100uabbabbabbabbxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnn112211001211210121100010001000ubxxxxynnn1211000判据格拉姆（Gram）矩阵判据线性定常系统BuAxx完全能控的充要条件是存在有限时刻01t，使101,0ttATAtdteBBetWcT成为非奇异矩阵。线性定常系统CxyAxx0,)0(0txx完全能观的充要条件是存在有限时刻01t，使1010,0tAtTtAdtCeCetWT非奇异。代数判据n维线性定常系统BuAxx完全能控的充要条件是rankcQ=rank1nABABB=n。n维线性定常系统CxyAxx，0,)0(0txx完全能观的充要条件是rankoQ=rank1nCACAC=n。3方法特征值判据（PBH判据）n维线性定常系统BuAxx完全能控的充要条件是对矩阵A的所有特征值i，ni,,1均满足rankBAIi=n。n维线性定常系统CxyAxx，0,)0(0txx完全能观的充要条件是对矩阵A的所有特征值nii,,1,，均有rankAICi=n。推论1设线性定常系统用如下特征值规范型表示ubbbbxxnmnmn1111100该系统完全能控的充要条件是B矩阵中没有元素全为零的行。若B中某行元素全为零，即mjbij,,1,0，则该行对应运动模态tie不能控。设线性定常系统用如下特征值规范型表示Cxyxxn1则系统完全能观的充要条件是矩阵C中不包含元素全为零的列。推论2（一个若尔当块的情形）若尔当型系统ubbbbxxkmkm11111111完全能控的充要条件是B矩阵最后一行的元素（一个若尔当块的情形）若尔当型系统xCxyxn1114),,1(mjbkj不全为零。完全能观的充要条件是矩阵C的第一列的元素不全为零。推论3设lJJ,,1是对应同一特征值1的若尔当块，则系统uBBBxJJJxll2121完全能控的充要条件是每个若尔当块所对应的输入矩阵块lBB,1的最后一行是线性无关的。设lJJ,,1是对应同一特征值1的若尔当块，则系统xxCCCyJJJxln2121完全能观的充要条件是每个若尔当块所对应的输出矩阵块lCC,,1的第一列是线性无关的。对偶关系系统能控性矩阵为BAABBQnc1，系统能观性矩阵为1noCACACQ，将oQ转置后得到TnTTTTToCACACQ1)(，由于oQ与ToQ的秩完全一样，这意味着，若系统CxyAxx完全能观，则其对偶系统vCzAzTT完全能控。同样地，若系统BuAxx完全能控，则其对偶系统zBwzAzTT完全能观。一个系统的能观性可由其对偶系统的能控性来检验，反之亦然。若对于任一线性定常系统，能通过状态变换（状态变换不改若对于任一线性定常系统，能通过状态变换（状态变换不改5控制系统的结构分解定义变系统的能控性）将系统变换成如下形式：uBxxAAAxxccccccc0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ12其中子系统ccBAˆ,ˆ完全能控，则可以直观地确定系统的能控子空间和不能控子空间。变系统的能观性）将系统变换成如下形式：oooooooooxxCyuBBxxAAAxxˆˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆ2121其中子系统ooCAˆ,ˆ完全能观，则可以直观地确定系统的能观子空间和不能观子空间。分解方法对n维线性定常系统),,(CBA，设rankcQ=rankBAABBn1=knkll,,1是cQ中k个线性无关的列向量，nkll,,1是与向量组kll,,1线性无关的(n-k)个线性独立的列向量。令nkklllllP121则状态变换xPx1ˆ可将系统),,(CBA化为按能控性分解的规范形式对n维线性定常系统),,(CBA,设rankoQ=rank1nCACACmn，TmT,,1是oQ中m个线性无关的行向量，TnTm,,1是与向量组TmT,,1线性无关的(n-m)个线性独立的向量。令6cccccccccxxCCyuBxxAAAxxˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆˆˆ2112其中，211121ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆCCCPCBBPBAAAAPPAccc。并有如下结论：（1）)ˆ,ˆ(ccBA是完全能控的。（2）（2）子系统)ˆ,ˆ,ˆ(1CBAcc的传递函数等于整个系统的传递函数，即BAsICBAsICcc111)(ˆ)ˆ(ˆTnTmTmTP111则线性变换xPx1ˆ将系统),,(CBA化为按能观性分解的规范型oooooooooxxCyuBBxxAAAxxˆˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆ2121其中，0ˆˆˆˆˆˆˆ0ˆˆ211211oooCCPCBBBPBAAAAPPA。并有如下结论：7（1）)ˆ,ˆ(ooCA是完全能观的。（2）子系统)ˆ,ˆ,ˆ(1ooCBA的传递函数等于整个系统的传递函数，即BAsICBAsICoo111)(ˆ)ˆ(ˆ按能控性和能观性分解对于n维线性定常系统CxyBuAxx一般情况下，系统可能既不完全能控，也不完全能观。设系统能控性判别矩阵的秩和能观性判别矩阵的秩分别为rankcQ=nn1rankoQ=nn2此时，可以将系统按能控性和能观性分解成如下的形式：8ocococcooccooccoocococcooccococccoocococcoxxxxCCyuBBxxxxAAAAAAAAAxxxx~~~~0~0~00~~~~~~~~000~00~~~~0~0~~~~~4324232113其中，cox~代表既能控又能观部分；ocx~代表能控但不能观部分；ocx~代表不能控但能观部分；ocx~代表既不能控又不能观部分。系统的传递函数与系统的既能控又能观部分的传递函数一致，即cococoBAsICsG~)~(~)(1。定义考虑单输入—单输出线性定常系统cxybuAxx其中，A为nn常数矩阵，b和c分别为1n和n1的常数矩阵。设系统完全能控，因此rankcQ=rankbAAbbn1=n系统的特征多项式为0111)det(sssAsInnn考虑单输入—单输出线性定常系统cxybuAxx其中，A为nn常数矩阵，b和c分别为1n和n1的常数矩阵。设系统完全能观，因此9单输入单输出线性定常系统规范型构造变换矩阵11111321211nnnbAAbbPrankoQ=rank1ncAcAc=n系统的特征多项式为0111)det(sssAsInnn构造变换矩阵11321211111nnncAcAcQ对于完全能控系统，通过非奇异线性变换xPx1可将系统变换成如下能控规范型xyuxxnn,,,100101021110对于完全能控系统，通过非奇异线性变换xQx1可将系统变换成如下能观规范型xyuxxnn10011002111010化为规范型方法其中，n,,,21可由下式计算：cbbcAbcAcbbcAbcAcbcAbcbnnnnnnnnn121112312211cPcbPbAPPAcc11其中，n,,,21可由下式计算：cbbcAbcAcbbcAbcAcbcAbcbnnnnnnnnn121112312211cQcQbbQAQA11线性系统的反馈状态反馈输出反馈定义考虑线性定常系统CxyBuAxx当将系统的控制u取为状态x的线性函数RKxu时，称这种控制形式为状态