三元一次方程组典型例题讲解

中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教育是一项良心工程武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象郭家铭授课教师杨琴梅授课时间授课题目三元一次方程组典型例题课型新课使用教具教案、白板、笔教学目标会解三元一次方程组教学重点和难点能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组参考教材教材教学流程及授课详案一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组③②①yxzyxzyx4225212分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⑤④2256125zyzy解得2,2.yz把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.①×5得5x+5y+5z=60④④-②得4x+3y=38⑤时间分配及备注中小学1对1课外辅导专家2由③、⑤得⑤③38344yxyx解得8,2.xy把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组③②①172162152zyxzyxzyx分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，即x+y+z=12.④①-④得x=3，②-④得y=4，③-④得z=5，∴3,4,5.xyz是原方程组的解.典型例题举例：解方程组20,19,21.xyyzxz①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60，即x+y+z=30.④④-①得z=10，④-②得y=11，④-③得x=9，中小学1对1课外辅导专家3∴9,11,10.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组②①21327:2:1::zyxzyx分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.yxzxxyz①②③，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2；把x=1，代入z=7x，得z=7.∴1,2,7.xyz是原方程组的解.分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1；把k=1，代入y=2k，得y=2；把k=1，代入z=7k，得z=7.∴1,2,7.xyz是原方程组的解.中小学1对1课外辅导专家4典型例题举例：解方程组③②①4:5:2:3:111zyxyzyx分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=23y；由③得z=45y.从而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.把k=3，代入x=10k，得x=30；把k=3，代入y=15k，得y=45；把k=3，代入z=12k，得z=36.∴30,45,36.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型例4：解方程组34,6,2312.xyzxyzxyz①②③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：（一）消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；中小学1对1课外辅导专家52.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二）方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。解：③②①1232643zyxzyxzyx（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16，④(体现第一次使用在①③后做记号√)②+③得3x+4y=18，⑤(体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得5216,3418.xyxy④⑤解得2,3.xy把x=2，y=3代人②，得z=1.∴2,3,1.xyz是原方程组的解.典型例题举例：解方程组2439,32511,56713.xyzxyzxyz①②③分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：②×2得6x－4y+10z=22，④2x+4y+3z=9，①①+④得8x+13z=31.⑤②×3得9x－6y+15z=33，⑥5x－6y+7z=13，③⑥－③得4x+8z=20.x+2z=5.⑦中小学1对1课外辅导专家6由⑤、⑦得81331,25.xzxz⑤⑦解得1,3.xz把x=-1，z=3代人①，得21y.∴1,1,23.xyz是原方程组的解.三、三元一次方程组的相关变式题型例五、解方程组13423103292zyxzyxzyx解：原方程组可化为)3(3423)2(1032)1(92zyxzyxzyx由（1）+（3），得634zx（4）由（1）+（2）2，得2975zx（5）由（4）和（5）组成方程组，得)5(2975)4(634zxzx解这个方程组，得23zx把2,3zx代入（1），得9223y∴2y∴223zyx是原方程组的解例六、已知0432zyx，0543zyx，求zyxzyx的值。解：由题意，得)2(0543)1(0432zyxzyx解这个方程组，得zyzx2231当zx31，zy22时，13252822312231zzzzzzzyxzyx中小学1对1课外辅导专家7∴所求代数式的值为132[例6]已知方程组)3(4)2(5)1(3axzazyayx的解使代数式zyx32的值等于10，求a的值。解：（2）－（1），得axz2（4）（3）+（4），得azaz3,62把az3代入（2）和（3），得axay,2∴azayax32，把azayax3,2,代入zyx32，得103322aaa∴35a∴所求a的值为35[例7]甲、乙两同学解方程组1022ycxbyax，已知甲的正确解答是42yx，乙由于看错了c，求出的解是5.63yx，则求cba,,的值。解：把42yx代入原方程组，得10422242cba∴1c由5.63yx满足2byax，得25.63ba和（1）组成方程组，得)2(25.63)1(242baba解得25ba∴125cba∴所求cba,,的值分别为1,2,5中小学1对1课外辅导专家8在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。四、三元一次方程组的实际应用例一:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.例二:甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。解:设甲是x，乙是y，丙是z则x+y+z=35(1)甲数的2倍比乙数大52x-y=5(2)乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2y/3=z/2(3)由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10，乙是15，丙是10。