10.平面向量数量积的物理背景及其含义

第十课时平面向量的数量积的物理背景及其含义向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．aOAbOBAOB)1800(OABabOABba若，a与b同向0OABba若，a与b反向180OABab若，a与b垂直，90ba记作.0,,:范围是是同起点的两向量必须两向量的夹角定义注意复习回顾一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS那么力F所做的功W为：情景引入W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW||a||bcosba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即cos||||bacos||||baba（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算（外积）．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a（1）问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量问题4：影响数量积大小的因素有哪些？ab|a||b|cos这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围9009018090的正负ba正负0数量积符号由cos的符号所决定平面向量的数量积的运算性质问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.aa问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱a·b︱≤︱a︱︱b︱问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？.cosbaba12,9,542,.ababab例：已知求与的夹角212abaabb例：已知，满足：=9，，求的取值范围。（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥ba·b=0.(判断两向量垂直的又一依据)||||.2或aaaaaa特别地，（２）当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.cos.abab（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：(求模的方法)证明不等式及求函数的最值(求角的方法)(证明共线的方法)例1.已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9,,00ABCABaACbababABC1、已知中，当或时，试判断的形状。练习:,,0ABCABaBCbabABC变式：已知中，当时，试判断的形状。变式:如图的菱形ABCD中，角A等于，AB=2,求下列各数量积.60DABC,,.,,ABADABBCABCDABDCBABCACBD2．已知=5，=4，与的夹角，求.120ababab10答案：：2；2；-4;4;-答案2;0.解：2,a例2.已知=(1,1),=(2,0),求。abab02,45b0cos22cos452abab练习2:在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求BCCA=20思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO例3:如图所示，已知⊙O，AB为直径,C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。ACCB0ACCB解：设则，由此可得：,AOaOCb,ACabCBabACCBabab2222||||abab220rr即，∠ACB=90°0CBAC物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF对非零向量a与b，定义|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．|a|cosθ叫向量a在b方向上的投影．数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθOABab1B︱a︱cosθCOAaOBb作，，过点B作1BBOA直线则的数量是|b|cosθ1OB（不是向量）a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0数量积的几何意义OABbaB1B1OABbaOABba问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8||,4||32024练一练：类比实数的乘法运算律：()()()abbaabcabcabcabac交换律：结合律：分配律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：abba分配律：cbcacba)(思考１：a·b与b·a相等吗？为什么？思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？问题９:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)121A1BABOabCc2B1||||cos||cosOBOBab11||||cosOAa1122||||||cosABABb如图可知：111112||||||||cos||cos||cosOBOAABabab12||||cos||||cos||||coscabcacb()abcacbc2()abcacbc--证明运算律（）分配律：()cabcacb则：(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.ONMa+bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)-分配律回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:在实数中在向量运算中交换律:ab=ba()结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b≠0)a=c()√√√××数量积的运算律)()(cbacbacbcacba)(cabcbba)0(abba)()()(bababa222221)2(2)()()abaabbababab（）(例3.已知向量a，b,求证下列各式证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.向量的数量积运算类似于多项式运算646023.abababab例4.已知，，与的夹角为。求（1）(2)2|.ab2222(2)(3)6cos672ababaabbaabb解：（1）.22(2)244237abaabb34ababkakbakb例5.已知，，与不共线，为何值时，向量与互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）·（a-kb）=0即a2-k2b2=09-16=0所以，k=2k3448.1|42|2k(2)(k)?oababababab练习：已知＝，＝，与的夹角是120计算－；当为何值时，＋－0121212,6022.3eeaeebee已知单位向量的夹角为，求向量与例的夹角6。012122121212122222212112222221211221cos602(2)(23)672.2(2)447(23)41297eeeeabeeeeeeeeaeeeeeebeeeeeea解：又17cos220,3abbab利用平面向量数量积求解夹角问题||||cosbaba.375472,abababababab：已知都是非零向量，且与垂直，变式与垂直求与的夹角。22222222023)(75)0(4)(72)0,7+16150,73080==112cos,60.2ababababaabbaabbabbabbababb：由已知，得（即两式相减，得2，代入上式，得解利用平面向量数量积求解长度问题||aaa求模的重要结论：(2008)12,3,abababab例7.上海:已知，向量与的夹角为，求变式：32,13ababababab若，，求:(1)(2)与的夹角的余弦值.(2008)13,1205ababab练习江苏:已知，向量与的夹角为，求m32,23,namnbnmab变式：若两个单位向量与的夹角为，求与的夹角(2007)21,1b.abaaba练习1：上海:已知，（）求，54,3k2kabababab练习2：已知，向量与的夹角为，如果（）（）,求实数的值.6332baababab练习3：已知，向量与的夹角为，且（）（）=-72,求.练习4:辨析1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=0.4．若a·b=0，则a,b中至少有一个为0．√×××√５.对任意向量a有.(a·a常记作a2)22aacbcabaa则，若,0.6×8.若b≠0，a·b＝c·b，则a=c9.(a·b)c=a(b·c)10.对任意向量a有22||aa.11.0()abb时，与的方向相同××××√7．若，则中至少有一个为．0ab,ab0(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心OAOBOC,0,NANBNC,,,PAPBPBPCPCPAONPABC则点依次是的（）C【高考真题链接】夹角的范围运算律性质数量积0(3)(a＋b)·c=a·c＋