个体风险模型

第三章个体风险模型保险人最关心的是总的理赔额S的分布，总理赔额S的分布模型可以分为两类：短期个体风险模型和短期集体（聚合）风险模型。个体风险模型以单个保单作为研究对象，每张保单是否发生理赔是相互独立的且保单总数在所考虑的时期内是固定的。以Xi代表一张保单的赔付额，则总的理赔额S被表示为：集体风险模型则将所有保单视为一体，以每次理赔为基本对象，此时Xi代表一次赔付事件的赔偿额，理赔次数N不是固定的，也是一个随机变量。12...nSXXX个体风险模型的基本假设一般情况下，要获得总理赔额S的分布是非常困难的，个体风险模型采用如下假设：（1）每张保单是否发生理赔以及理赔额的大小是相互独立的，即nX,X,...,X12是相互独立的随机变量。（2）每张保单在此时间段内至多发生一次理赔。（3）保单总数n是固定的，即模型是封闭的。如前所述,个体风险模型研究保险人在一个时间段内总的理赔额12311nSXX...X..的概率分布，其中iX代表第i张保单可能发生的理赔额.因此，个体风险模型以单个保单为研究对象。§3.1S的数字特征用一个0-1随机变量I（示性函数）表示理赔发生情况：I1表示发生了理赔，0I代表未发生理赔。即I可表示为：01,I,不发生理赔发生理赔利用示性(指示)函数I,可以将第i张保单的理赔量iX写成：01iiiiii,qXIBB,q,其中1iiqPI代表第i张保单发生理赔的概率，iB代表该张保单发生理赔时的理赔额。记,iiiiiiuEBIVarBI211并注意到条件期望值,iiiiiiiEXIEXIEBIu0011上述两式,实际上给出了条件期望iiiiEXIuI,因此iiiiiiiiiEXEEXIEuIuEIuq,条件期望的方差为:iiiiiiiiiVarEXIVaruIuVarIuqq221由于,iiiiiiiVarXIVarXIVarBI2011,故条件方差可写成iiiiVarXII2,进而得条件方差的期望为iiiiiiEVarXIEIq22由方差分解公式得iiiiiiiiiiVarXVarEXIEVarXIuqqq221总的理赔额S为：11nniiiiiSXIB,考虑到各个保单理赔额的独立性质，则总理赔额的均值和方差分别为：niiiESuq12211niiiiiiVarSuqqq§3.2独立随机变量和的分布（卷积方法）对于相互独立的离散非负随机变量X与Y，设它们的分布列分别为Xp和Yp，则SXY的分布为syPSsPXYsPXYsYyPYy0()()(|)()sysXYyPXsyYyPYypsypy00(|)()()()（3.2.1）利用求和的可交换性，S的分布也可写成sYXyPSspsxpx0()()例3-2-1设随机变量XX12,相互独立,它们的分布列分别为X1012~0.50.30.2，X20123~0.40.30.20.1求12SXX的分布。【解】21200,00.50.40.20fPXX(2)1212(1)(0,1)(1,0)0.50.30.30.40.27fPXXPXX(2)121212(2)(0,2)(1,1)(2,0)0.50.20.30.30.20.40.27fPXXPXXPXX(2)121212(3)(0,3)(1,2)(2,1)0.50.10.30.20.20.30.17fPXXPXXPXX(2)1212(4)(1,3)(2,2)0.30.10.20.20.07fPXXPXX(2)12(5)(2,3)0.20.10.02fPXX对于两个相互独立的连续型非负随机变量X和Y，设其分布密度分别为()Xfx和()Yfy，它们的联合密度为(,)(,)XYfxy，则由独立性知(,)(,)()()XYXYfxyfxfy，SXY的分布函数为：(,)()()(,)()()SXYxysXYxysFsPXYsfxydxdyfxfydxdy000()()()()ssxXYsXYfxfydydxfxFsxdx所以，S的分布密度为0()()()sSXYfsfxfsxdx利用求和的可交换性，S的分布密度也可以写为：0()()()sSXYfsfsyfydy例3-2-2设XX12,相互独立，且均服从下列分布，Xfxxx22()(100),0100100记SXX12，计算sf120。【解】由卷积公式（3.2.3），有SXXffxfxdx1200120120积分区域为x0100和x0120100，即x20100，故上式可化为：()|.SXXffxfxdxxxdxxxx1210010022202032100204221201201002010010041602000000341331003对于连续随机变量情况，使用卷积公式需特别注意积分区间。例3-2-3（续例3-2-1）设随机变量XXX123,,相互独立,它们的分布列分别为X1012~0.50.30.2，~....X2012304030201~....X301234050030101用卷积方法求SXXX123的分布。【解】由于SXXX123，所以S的分布等于XX12的分布与X3的分布fx3的卷积。例如fPXXXPXXXPXXX(3)123123123(2)0,21,12,00.20.30.2700.270.50.195表3-2-1（例3-2-3的计算结果）Xf1(x)f2(x)f3(x)f(2)(x)f(3)(x)F(2)(x)F(3)(x)00.50.40.50.20.10.20.110.30.300.270.1350.470.23520.20.20.30.270.1950.740.4330.10.10.170.1860.910.61640.10.070.1630.980.77950.020.11510.89460.0650.95970.030.98980.0090.998例3-2-4设XXX123,,相互独立,它们的分布如下表所示：xfx1fx2fx30p0.60.251p10.20.2520.10.2530.10.25设SXXX123，已知.Sf5006，求p的值。【解】由卷积公式知SfPXXXPXXX12312350,51,4，其中PXXPXXPXX23232353,22,30.05PXXPXXPXXPXX2323232341,32,23,10.1故....Sfppp500501100608。§3.3矩母函数和母函数法由上一节，我们已经看到，用卷积法求总理赔额的分布要做大量运算，很多情况下，用矩母函数法可以解决这个问题。特别当12nXXX,,...,是相互独立随机变量的时候，我们有1inSXiMtMt..331这样我们就可以由各随机变量,,...,iXin12的矩母函数iXMt很方便地求得总理赔额的矩母函数SMt，进而求出总理赔额的分布。当随机变量的矩母函数不存在时，我们也可以利用母函数或特征函数求出总理赔额的分布。例3-3-1设nXXX12,,...,独立同分布,且iX服从伽马分布(,)，设nSXXX12，求S的分布。【解】伽马分布的密度函数为()()xxefx1经计算得到(),XtMtt1由公式（3.3.1）求得()()(()),innnsXXitMtMtMtt11因此，S服从伽马分布(,)n。可见，服从伽马分布的独立随机变量的和也服从伽马分布。例（独立和分布的可加性）：设nX,X,...,X12为相互独立的随机变量,iX为服从参数是i的泊松分布，求nSXX...X12的分布。解：因为nttttnnSXXXeee...eMtMtMt...Mtee...ee1212121111由此看到，nSXX...X12是服从参数为n...12的泊松分布，这种性质称为再生性或可加性。除了泊松分布外，伽马分布也具有这种可加性。当理赔额固定，即iiiXIb时，其中011iiiIqq，总理赔额S的矩母函数为：111110111iiiiiiiiinnntXtIbSXiiintIbtIbiiiiintbiiiMtMtEeEeeIqeIqqqe从而lninntbStiitiiiidMtESbqebqdt0011当理赔额也是随机变量，即iiiXIB时，可类似得到11111111iiiiiiinnntIBtIBtBSiiiiiinntBiiiiBiiMtEeEEeIEqqeqqEeqqMt有了矩母函数后，就可算出总理赔额S的各阶原点矩：0kkXM同时还可算出其均值与方差：'''00ln;lnStStESMtVarSMt§3.4S分布的近似计算法对于数目较大的保单组合来说，实用的方法是求出近似分布。对于独立同分布的随机变量有下列中心极限定理。定理3-4-1设随机变量,,,nXXX12相互独立，服从同一分布，且具有数学期望()kEX和方差()kVarX2。记niiSX1，则随机变量niiXnSESnVarS1的分布函数()nFx对任意x满足/lim()limnixtinnnXnFxPxedtn22112对于独立但不同分布的随机变量和，在一定条件下，中心极限定理同样成立。定理3-4-2(李雅普诺夫定理)设随机变量,,,nXXX12相互独立，它们具有数学期望和方差：()kkEX，()kkVarX20记nnkkB221，若存在正数，使得当n时，||nkknEXB22110则随机变量nnnniiiiiiiinnniiXEXXZBVarX11111的分布函数对任意x有/lim()limnniixtiinnnnXFxPxedtB221112例3-4-1某保险公司出售了300张火灾险保单。已知保单分为两类，具体信息如下类别保单数理赔发生概率期望理赔额12000.051,00021000.012,000假设：（1）在理赔发生的条件下，理赔额服从指数分布。（2）每张保单至多只发生一次理赔。（3）理赔的发生与理赔额的大小独立。求：（1）计算这300张保单的总理赔额的方差。（2）假设保险人收取的保费等于()()ES1，称为安全附加系数，0.1，用正态近似法计算总理赔额超过保费收入的概率(()())PSES1。【