逻辑代数基础

第一章逻辑代数基础学习要点：•逻辑函数的表示•逻辑代数的公式与定理•逻辑函数化简1.1概述1.1.1数字量和模拟量(自学)重点掌握：1.二进制的表示方法(P2)在二进制数中，每一位仅有0和1两个可能的数码，所以计数基数为2。低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”，故称为二进制。展开式D=∑Ki2i1.1.2数制与码制(自学)2.数制转换(1)二—十转换(2)十—二转换3.码制表1.1.1几种常见的BCD代码重点读熟8421码，余3码，以及循环码的编写规则。00011110000001011010110111101100二位循环码的编写规则三位循环码的编写规则1.1.3二进制数的正负表示方法b7b6b5b4b3b2b1b0以最高位作为符号位，正数为0；负数为1。以下各位为0和1表示数值。1.原码——用上述的方法表示的数码称为原码。例：(01011001)2=([phone]=(-89)102.补码——正数的补码和它的原码相同；负数的补码通过将原码的数值逐位求反，然后在最低位上加1得到。1.2逻辑代数中的三种运算逻辑约定(P513)：(1)正逻辑关系——高电平(H)用逻辑“1”表示低电平(L)用逻辑“0”表示(2)负逻辑关系——高电平(H)用逻辑“0”表示低电平(L)用逻辑“1”表示(3)正负逻辑转换1)若逻辑变量取反，则该逻辑变量的对应点应加上或消去表示负逻辑极性的小圆圈。&ABF&ABF2)若一个门的输入、输出端加上(或消去)小圆圈，或输入输出变量同时取反，则“与”符号和“或”符号应相互转换。&≥1≥1ABABABFFF(1)定义——只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。这种因果关系叫做逻辑与。(2)模型(图1.2.1(a))1.与(3)真值表(表1.2.1)ABY000010100111(4)逻辑符号(P10)&ABY(5)逻辑方程Y=A·B(6)波形分析ABYABY(1)定义——在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。这种因果关系叫做逻辑或。(2)模型(图1.2.1(b))ABY2.或(3)真值表(表1.2.2)ABY000011101111(4)逻辑符号(P10)ABY(5)逻辑方程Y=A+B(6)波形分析ABY≥1(7)与或关系的相对性在同一电路中，使用不同的逻辑规定则逻辑功能不同。若将低电平“0”“1”高电平“1”“0”则正逻辑“或”负逻辑“与”ABY000011101111ABY111100010000(1)定义——只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非。(2)模型(图1.2.1(C))AYR(3)真值表(表1.2.3)AY0110(4)逻辑符号(P10)AY1(5)逻辑方程Y=A3.非4.其他类型逻辑门1)逻辑符号(P11)&ABY2)真值表(表1.2.4)3)逻辑方程ABY001011101110Y=A·B4)波形分析ABY(1)与非(2)或非1)逻辑符号(P11)ABY2)真值表(表1.2.5)3)逻辑方程ABY001010100110Y=A+B4)波形分析ABY≥15)与非或非关系的相对性若将低电平“0”“1”高电平“1”“0”，则正逻辑负逻辑“或非”“与非”ABY001010100110ABY110101011001(3)与或非1)逻辑符号(P11)Y=A·B+C·DABCDY&≥12)逻辑方程(4)异或1)逻辑符号(P11)ABY2)真值表(表1.2.7)ABY000011101110Y=A⊕B4)波形分析ABY=13)逻辑方程(5)同或1)逻辑符号(P11)ABY2)真值表(表1.2.8)ABY001010100111Y=A⊙B=A⊕B=AB+AB=AB+AB4)波形分析ABY=3)逻辑方程1.3基本公式和常用公式序号10·A=0111+A=121·A=A120+A=A3A·A=A13A+A=A4A·A=014A+A=1序号5A·B=B·A15A+B=B+A6A·(B·C)=(A·B)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A·(B+C)=A·B+A·C17A+B·C=(A+B)(A+C)1.基本公式(表1.3.1)证明17式：1)真值表法，2)公式法序号8A·B=A+B18A+B=A·B序号9A=A101=0；0=12.若干常用公式序号21A+AB=A22A+AB=A+B23AB+AB=A24A(A+B)=A25AB+AC+BC=AB+AC26A·A·B=A·B；A·AB=A用公式法证明22式用公式法证明25式1.4基本公理1.代入定理——用一函数代替一组变量，等式不变。例：Z=A·B·C=H·C=H+C=A+B+C2.反演定理——对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y。注意运算规则：1.按括号,乘号,加号顺序2.不属单个变量上的反号应保留不变3.对偶定理(1)对偶规则——对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0，则得到的结果就是Y’。P=HP’=H’同样要注意运算规则：1.按括号,2,乘号,3.加号(2)对偶定理表1.3.1中1～8式与11～18式互为对偶式(2)(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)(3)A(B⊕C)=AB⊕AC(4)A⊕1=AA⊕0=AA⊕A=0A⊕A=1如果A⊕B=C则A⊕C=BB⊕C=A满足(1)A⊕B=B⊕A4.关于或运算定义A⊕B=AB+ABA⊙B=AB+AB=A“1”=A1.逻辑函数——反应输出与输入之间的函数关系Y=F(A,B,C,….)1.5逻辑函数及其表示法2.逻辑函数的表示方法(1)真值表填写规则：1)包含全部的变量(N=2n)2)按二进制编码规则排列例：举重裁判电路按正逻辑规定：A，B，C按下——“1”不按——“0”灯亮——“1”灯不亮——“0‘BYCA图1.5.1ABCY00000010010001101000101111011111(2)逻辑函数1)最小项之和①最小项a定义(P21)b性质(P21)②用最小项写函数的规则a.找Y=1的项,b.对应Y=1的各项,输入变量为1取变量本身,变量为0取其反,然后取各变量的乘积,c.取以上各乘积之和。Y(A,B,C)=ABC+ABC+ABC=Σm(5,6,7)=Σmmi(i=5,6,7)ABCY000000100100011010001011110111112)最大项之积①最大项a定义(P22)b性质(P22)②用最大项写函数式的规则a.找Z=0的项；b.对应Z=0的各项,输入变量为0取变量本身,变量为1取其反,然后取各变量的和,c.取以上各和之乘积。Z(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=Π(0,1,2,3,4)=ΠMkABCY00000010010001101000101111011111k≠i(3)逻辑图&YABC≥1要求掌握各种表示方法间的互相转换真值表逻辑函数式逻辑图(4)卡诺图——用几何图形表示逻辑函数(P28)卡诺图1.6公式化简法1.最简形式(1)表达形式(同一逻辑功能用多种形式的表达式)1)与或式Y=AB+AC2)或与式Y=(A+C)(A+B)=AA+AB+AC+BC=(A+C)(A+B)3)或非—或非式Y=A+C+A+B4)与非—与非式Y=AB·AC=(A+B)(A+C)(2)最简标准5)与或非式Y=AB+AC1)项数最少Z=A+AB=A2)每项中因子最少Z=A+AB=A+B3)级数最少AA2.化简方法(1)并项法Z=ABC+ABC=AB(C+C)=AB(2)吸收法Z=AB+ABCD=AB(1+CD)=AB(3)消项法Z=AC+AB+B+C=AC+AB+BC=AC+BC(4)消因子法Z=A+AB+AC=A+A(B+C)=A+B+CZ=AB+AC+BC=AB+ABC=AB+C(5)配项法Z=AB+AC+BC=AB+AC+BC+BC=1(6)利用对偶定理Z=(A+C)(A+D)(B+C)(B+D)Z’=AC+AD+BC+BD=C(A+B)+D(A+B)=(A+B)(C+D)Z’’=AB+CD(7)利用代入定理Z=(A+B+C)(D+E)(A+B+C+DE)设H=A+B+CZ=H(D+E)(H+DE)=(H+DE)(H+DE)=HDE+HDE+DE=DE(8)利用反演定理Z=(A+C)(A+D)(B+C)(B+D)Z=AC+AD+BC+BD=(A+B)C+(A+B)D=(A+B)(C+D)Z=Z=AB+CD1.7卡诺图化简法1.卡诺图表示法(1)构想(P29)N=1AAN=2AABBN=3ABCN=4ABCDABABAB(2)相邻原理如果两个最小项中除了一个变量不同外，其它的都相同，那么这两个最小项在逻辑位置上具有相邻。(3)卡诺图的画法1)变量取值的顺序按循环码排列2)所对应的方块可用十进制序号标注N=3ABC010001111001234567N=4ABCD00011110000111100132457689111011121514(4)逻辑方式，真值表与卡诺图的关系Y(A,B,C)=ABC+ABC+ABC=Σm(5,6,7)ABCY00000010010001101000101111011111ABC0100011110111(5)用卡诺图表示逻辑函数1)展开成标准型Y=ABCD+ABD+AC+AB=m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m14+m15=∑m(1,4,6,8,9,10,11,14,15)ABCD00011110000111101111111112)用观察法ABCD2.化简方法(1)合并最小项的规则a.合并2项两个最小项相邻可合并为一项,并消去一个因子。b.合并4项四个最小项相邻可合并为一项,并消去两个因子。ABC01000111101111ABC+ABC=ABABC+ABC=ACABCD0001111000011110111111111111CDBDBCc.合并8项ABCD0001111000011110111111111111八个最小项相邻可合并为一项,并消去三个因子。BD(2)读写函数时不能多读问题ABCD0001111000011110111111111.8具有无关项的逻辑函数及其化简1.概念(1)约束——在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样一种情况，即输入变量的取值不是任意的。对输入变量取值所加的限制称为约束。例：设电动的正转A=1反转B=1停止C=1那么A，B，C之间的取值存在有约束ABCZ000000110101011╳1001101╳110╳111╳(3)约束项——把这些恒等于0的最小项(2)约束条件——不允许出现的变量组合对应的最小项等于0来表示ABCZ000000110101011╳1001101╳110╳111╳ABC=0ABC=0ABC=0ABC=0ABC=0或ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0在存在约束项的情况下，把约束项写入函数式不会影响函数值，所以又可称它们为无关项。2.无关项在化简逻辑函数中的应用(1)例1.8.1Y(ABCD)=Σm(1,7,8)约束条件Σd(3,5,9,10,12,14,15)=0ABCD00011110000111101╳╳╳╳╳╳11╳ADADY=AD+AD(2)例1.8.2Y(ABCD)=ACD+ABCD+ABCD约束条件Σd(10,11,12,13,14,15)=0ABCD0001111000011110111╳╳╳╳1╳╳CDBDADY=BD+AD+CD