4.等差数列的性质

2.2.2等差数列的性质[读教材·填要点]等差数列的常见性质有am＋an＝ap＋aq(n－m)d(2)m＋n＝p＋q⇒；(4)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列；(1)an＝am＋；(3)对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；(5)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p、q∈R)；(6)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)仍为等差数列；(7){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列；[例1]已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，法一：化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3，或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：[悟一法]对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．跟踪训练1．三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解析：法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24.得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.利用等差数列的通项公式或性质解题等差数列{an}中，如果a5＝11，a8＝5，求数列的通项公式．跟踪训练2．数列{an}各项的倒数组成等差数列，如果a3＝－1，a5＝＋1，求a11.22解析：设{an}各项的倒数组成等差数列为{bn}，则b3＝2＋1，b5＝2－1.b1＋2d＝2＋1b1＋4d＝2－1⇒b1＝3＋2d＝－1⇒b11＝b1＋10d＝2－7⇒a11＝1b11＝－7－247.3.在等差数列{an}中，ar＝s，as＝r(r≠s，r，s∈N*)，求ar＋s.[解]法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则a1＋r－1d＝s，a1＋s－1d＝r，解得d＝－1，a1＝r＋s－1.故an＝r＋s－1＋(n－1)·(－1)＝－n＋r＋s.故ar＋s＝－(r＋s)＋r＋s＝0.法三：∵ar＝s，as＝r，且r≠s，∴d＝ar－asr－s＝s－rr－s＝－1.∴an＝ar＋(n－r)·(－1)＝－n＋r＋s.∴ar＋s＝0.法二：利用等差数列的性质解题已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解析：法一：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得：d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.法二：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a2＋a6＝2a4＝10.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，从而a2，a6可看成方程x2－10x＋9＝0的两根，∴an＝2n－3或an＝13－2n.解得：a2＝1a6＝9或a2＝9，a6＝1，跟踪训练4．在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则a8＋a9＋a10的值为()A．72B．60C．48D．36解析：法一：设此数列的首项为a1，公差为d，则a5＋a13＝a1＋4d＋a1＋12d＝2a1＋16d＝40，即a1＋8d＝20.a8＋a9＋a10＝a1＋7d＋a1＋8d＋a1＋9d＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝60.B法二：可以应用等差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，所以有a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故a8＋a9＋a10＝60.故选B.5.(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：∵a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7，∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：746．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30B．27C．24D．21答案：B等差数列的综合已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通项公式；(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？题型四：解析：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{an}中项数被4除余3的项是{an}的第3项，第7项，第11项，…，这些项组成一个新的等差数列(第二问中加以证明)，其首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N*).∵bn－bn－1＝－20(n≥2，n∈N*)，∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n.(3)b110＝13－20×110＝－2187，设它是{an}中的第m项，则－2187＝8－5m，则m＝439.点评：数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系．1．在做等差数列题时，注意利用结论：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，提高解题速度．因这个结论来源于通项公式，故直接用通项公式也可做出，但所用时间相差很远．2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法．3．注意一个数列的变式为等差数列的应用；如一个数列的倒数，一个数列加一个数组成一个等差数列，一个数列开方等．