两角和与差的三角函数、二倍角公式

第20讲两角和与差的三角函数、二倍角公式考试要求1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C级要求)；二倍角的正弦、余弦、正切公式(B级要求)；2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C级要求).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)诊断自测(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.2.(2017·山东卷改编)已知cosx＝34，则cos2x＝________.解析由cosx＝34得cos2x＝2cos2x－1＝2×342－1＝18.答案183.(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tanα＝________.解析tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案754.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sinα＝310，tan(α＋β)＝－2，则tanβ＝________.解析由α是第二象限角，且sinα＝310，得cosα＝－110，tanα＝－3，所以tanβ＝tan(α＋β－α)＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝－2＋31＋6＝17.答案175.(必修4P109习题4改编)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.答案221.两角和与差的三角函数公式知识梳理sin(α±β)＝______________________.cos(α∓β)＝______________________.tan(α±β)＝______________________.sinαcosβ±cosαsinβ.cosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2.二倍角公式sin2α＝_____________.cos2α＝___________＝___________＝___________.tan2α＝___________.注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠kπ＋π2，且α≠kπ2＋π4(k∈Z).②“倍角”的意义是相对的，如4α是______的二倍角，α是____的二倍角.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2α2tanα1－tan2αα23.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝_______________________.(2)cos2α＝____________，sin2α＝____________.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1＋cos2α21－cos2α24.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.考点一公式的正向、逆向使用【例1】(1)(一题多解)(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________.(2)(2016·四川卷)cos2π8－sin2π8＝________.解析(1)法一∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.法二tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17－（－2）1＋17×（－2）＝1＋147－2＝3.(2)由二倍角公式得cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22.答案(1)3(2)22规律方法两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的正向使用(从左往右使用)、逆向使用(从右往左使用)是本节的基础，要从角度联系、结构特征发现问题中隐含的公式特征，选择使用公式解决问题；特别要注意“尽量用已知角表示未知角”的思想方法的应用.(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.【训练1】(1)(2017·课标全国Ⅰ卷)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解析(1)因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.(2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.答案(1)31010(2)12考点二公式的变形、灵活使用【例2】(1)(2017·广州调研)已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝________.(2)(2017·江苏四校联考)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin2αcos2β的值为________.(3)(2017·如东中学调研)已知α为锐角，若sinα＋π6＝35，则cos2α－π6＝________.解析(1)由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.(2)sin2αcos2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]cos[（α＋β）－（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1＋tan（α＋β）tan（α－β）.将tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3代入，得原式＝2＋31＋2×3＝57.(3)由sinα＋π6＝35，可得cosα＋π6＝±45，当cosα＋π6＝－45时，cosα＝cosα＋π6－π6＝3－43100，与α是锐角矛盾，所以cosα＋π6＝45，从而cos2α－π6＝cos2α＋π6－π2＝2sinα＋π6·cosα＋π6＝2×35×45＝2425.答案(1)1718(2)57(3)2425规律方法两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α等；(3)注意倍角的相对性，如α＝2×α2等；(4)要时时注意角的范围；(5)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等.【训练2】(1)(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是________.解析(1)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(2)(2018·四川泸州四诊)已知sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝________.(2)由题意：sinπ3－α＝sinπ2－π6＋α＝cosπ6＋α＝14，则cosπ3＋2α＝cos2π6＋α＝2cos2π6＋α－1＝－78.答案(1)2(2)－78考点三三角函数式的化简与求值(多维探究)命题角度1三角函数式的化简【例3－1】化简：（1＋sinα＋cosα）·cosα2－sinα22＋2cosα(0απ)＝________.解析原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝cosα2cosαcosα2.因为0απ，所以0α2π2，所以cosα20，所以原式＝cosα.答案cosα命题角度2给值求值【例3－2】(一题多解)(2017·苏州一模)若2tanα＝3tanπ8，则tanα－π8＝________.解析法一tanα－π8＝tanα－tanπ81＋tanαtanπ8＝12tanπ81＋32tan2π8＝sinπ8cosπ82cos2π8＋3sin2π8＝12sinπ41＋cosπ4＋321－cosπ4＝1＋5249.法二由tanπ4＝1，解得tanπ8＝2－1，所以tanα－π8＝12tanπ81＋32tan2π8＝12×（2－1）1＋32×（3－22）＝1＋5249.答案1＋5249命题角度3给角求值【例3－3】[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280＝________.解析原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝(2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°)·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.答案6命题角度4给值求角【例3－4】(2018·常州一模)满足等式cos2x－1＝3cosx(x∈[0，π])的x的值为________.解析将方程化为2cos2x－3cosx－2＝0，解得cosx＝－12或cosx＝2(舍去).因为x∈[0，π]，所以x＝2π3.答案2π3规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.三角函数求值有三种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路；①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角.(2)(2016·课标Ⅲ卷改编)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝________.(3)已知cosα＝17，cos