题型锐角三角函数的实际应用

二、解答题重难点突破题型三锐角三角函数的实际应用针对演练仰角、俯角问题1.某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)第1题图2.(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.第2题图3.(2015丹东10分)如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)第3题图4.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)第4题图5.(2015本溪12分)张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)第5题图6.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)第6题图坡度、坡角问题7.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第7题图8.(2014山西)如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)第8题图测量问题9.(2015云南6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)第9题图10.(2015遵义8分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)第10题图方向角问题11.(2015镇江6分)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．第11题图12.(2015郴州8分)如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．(结果保留整数)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第12题图【答案】针对演练仰角、俯角问题1.【思路分析】过点A作AN⊥CM于点N，构造Rt△AND，在直角三角形中，通过所给的三角函数，建立DN的表达式，从而求出CD即可．解：如解图，过点A作AN⊥CM于点N，则∠CAN＝45°，∠DAN＝37.3°，∴CN＝AN＝BM＝15.在Rt△AND中，DN＝15×tan37.3°≈11.43.∴CD＝CN－DN＝15－11.43≈3.6.∴广告牌的高度约为3.6m.2.【思路分析】首先，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB＝EF，AE＝BF.由题意可知，AE＝BF＝1100－200＝900米，CD＝1.99×104米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB.解：如解图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F.则四边形ABFE为矩形，∴AB＝EF，AE＝BF.由题意可知AE＝BF＝1100－200＝900(米)，CD＝19900(米)．∴在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝900(米)，∴CE＝AEtan∠C＝AEtan45°＝900(米)，在Rt△BFD中，∠BDF＝60°，BF＝900(米)，∴DF＝BFtan∠BDF＝900tan60°＝3003(米)，∴AB＝EF＝CD＋DF－CE＝19900＋3003－900＝(19000＋3003)米．答：两海岛之间的距离AB是(19000＋3003)米．第1题解图第2题解图3.【思路分析】本题考查三角函数的实际应用．题中有角度没直角三角形，先考虑过点C向AB作垂线CE构造直角三角形，利用正切分别求得AB、AE，最后利用线段和差关系求解即可．解：过点C作CE⊥AB交AB于点E，则四边形EBDC为矩形，∴BE＝CD，CE＝BD＝60米．(2分)根据题意可得，∠ADB＝48°，∠ACE＝37°.在Rt△ADB中，tan48°＝ABBD，则AB＝tan48°·BD≈1110×60＝66(米)；(5分)在Rt△ACE中，tan37°＝AECE，则AE＝tan37°·CE≈34×60＝45(米)，(8分)∴CD＝BE＝AB－AE＝66－45＝21(米)，∴乙楼的高度CD为21米．(10分)4.【信息梳理】第3题解图原题信息整理后信息结论在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆．拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB∠DEC＝57.5°，DB＝6米AM＝BD＝6米，AB＝MD＝1.5米，CM＝AM·tan30°，CD＝CM＋MD在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB＝1.5米过点A作AM⊥CD，垂足为M，∠MAC＝30°求拉线CE的长求CE的长CE＝CDsin57.5°解：如解图，过点A作AM⊥CD，垂足为M.∴AM＝BD＝6(米)，AB＝MD＝1.5(米)．在Rt△ACM中，tan30°＝CMAM，∴CM＝AM·tan30°＝6×33＝23米．∴CD＝CM＋MD＝(23＋1.5)米，在Rt△CED中，sin57.5°＝CDCE，∴sin57.5°＝23＋1.5CE，∴CE≈2×1.732＋1.50.843≈5.89(米)．答：拉线CE的长约为5.89米．5.解：如解图，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，∵∠CAN＝45°，∠MAN＝30°，∴∠CAB＝15°，∵∠CBE＝60°，∠DBE＝30°，∴∠CBD＝30°，∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB＝15°，第4题解图第5题解图∴AB＝BC＝20(米)，(3分)在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BC＝20(米)，∴CE＝BC·sin∠CBE＝20×32＝103(米)，BE＝BC·cos∠CBE＝20×12＝10(米)，(6分)在Rt△DBE中，∠DBE＝30°，BE＝10(米)，∴DE＝BE·tan∠DBE＝10×33＝1033(米)，(9分)∴CD＝CE－DE＝103－1033＝2033≈11.5(米)．答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．(12分)6.解：设EC＝x，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝ECBE，则BE＝ECtan∠EBC＝ECtan50°≈56x(米)，在Rt△ACE中，tan∠EAC＝ECAE，则AE＝ECtan∠EAC＝ECtan45°＝x(米)，∵AB＋BE＝AE，∴300＋56x＝x，解得：x＝1800(米)，∴这座山的高度CD＝DE－EC＝AF－CE＝3700－1800＝1900(米)．答：这座山的高度是1900米．坡度、坡角问题7.解：∵在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，坝高BE＝20米，∴AE＝BE＝20米，在Rt△BEF中，BE＝20，∠F＝30°，∴EF＝BEtan30°＝203(米)．∴AF＝EF－AE＝203－20≈15(米)．即AF的长约为15米．8.【思路分析】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求解．如解图，过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D.分别在Rt△AFB和Rt△BDC中根据坡度求得AF，BD的长度，再在Rt△AEC中，根据勾股定理求得AC的长度．解：如解图，过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D.则△AFB，△BDC和△AEC都是直角三角形，四边形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形．∴BF＝BB′－FB′＝BB′－AA′＝310－110＝200(米)，∴CD＝CC′－DC′＝CC′－BB′＝710－310＝400(米)．∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400(米)，BD＝CD＝400(米)．又∵FE＝BD＝400(米)，DE＝BF＝200(米)．∴AE＝AF＋FE＝800(米)，∴CE＝CD＋DE＝600(米)．∴在Rt△AEC中，AC＝AE2＋CE2＝8002＋6002＝1000(米)．答：钢缆AC的长度为1000米．测量问题9.【信息梳理】原题信息整理后的信息一选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°∠CAB＝30°二沿河岸AB前行30米后到达B处AB＝30米三在B处测得∠CBA＝60°∠CBA＝60°第8题解图四求出河的宽度过点C作CD⊥AB于点D，则求CD的长度解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ADC中，∠CAB＝30°，∴AD＝CDtan∠CAB＝CDtan30°＝3CD，(2分)∵在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∴BD＝CDtan∠CBA＝CDtan60°＝33CD，(3分)∵AB＝AD＋BD＝30米，∴3CD＋33CD＝30米，(4分)∴CD＝1532≈15×1.732＝12.975≈13米．(5分)答：河的宽度约为13米.(6分)一题多解：在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝90°，∵AB＝30米，∴BC＝15米，(2分)如解图，过点C作CD⊥AB于点D，(3分)在R