中学数学之经典案例

数学课型模板在义务教育各个学段中，关于数学部分，《新课程标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。高中阶段的数学教学包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分。综合来看，可以把数学课程模板分成两类，代数和几何。一、代数课程模板（等差数列（第一节））导入师：零花钱是大家都很喜欢的，老师每个月上交工资，然后也会收到零花钱。我们都希望零花钱越多越好，但往往不禁花。所以我每个月都会统计自己月初收到的零花钱和月末余下的零花钱。（ppt展示表格如下）月份1234567收入150160170180190200210剩余3530252015105思考1：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（通过学生喜欢的话题来吸引大家参与教学的兴趣，让同学们自由谈论）师：大家可以看到，老师的生活多不容易啊，零花钱还不如同学们的多。那么现在同学们能用数学文字语言来描述上述数列的特征吗？生：第一排月份和第二排收入是依次变大的数据，第三排剩余是依次变小的数据。而且每一排后一项与它的前一项的差等于常数（描述1）。师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？生1：不一样，他们之间的差不是一个常数。生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）。师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？生1：不一样，从第二项起往后和上述一样，但第一项第二项之间不符合规律。生2：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（描述3）（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这三组数列的共同特征：1、前后项为同一常数，2、从第二项起）新授师：用数学符号语言：生3：na-1na=d师：等价么？生4：应加上（d是常数）n≥2,n∈N*（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）师：对式子进行变形可得：na=1na+d（d是常数）n≥2,n∈N*，如果我们能跳出d的思维定势，能得到很多的公式变形。（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）师：这样的数列在你日常生活中存在？生1：1，3，7，7，9，11，···d=1生2：10，15，20，25，30，35，40，···d=5（让学生举例，加深对数列的感性认识）师：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？生：等差数列（让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差。1a为数列的首项。daa12，daa23，daa34，···daann1···（n≥2,,n∈N*）（对定义进行分析，强调：1、同一常数，2、从第二项起。同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。）师：回到表格中抽象出的3个数列，分别说明他们的公差。d=1d=10d=-5（引导学生发现公差d对数列的影响，当d0时数列是递增，当d0时数列是递减，当d=0时数列是常数列。）1a2a3a4a5a6a150160170180190200师：见上表，请7号的同学回答a7，请8号的同学求a8，请42号的同学求a42···师：若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）生：我们把问题推广到一般情况。若一个数列1a，2a，3a，···，an，···是等差数列，它的公差是d，那么数列{an}的通项公式是什么？方法1．n=2daa12n=3dadaa2123n=4dadaa3134·····dnadaann)1(11当n=1时，也成立。（归纳、猜想。培养学生合情推理的能力）方法2。daadaadaadaadaann145342312...用叠加得dnaan)1(1，当n=1时，也成立。整理得：dnaan)1(1n∈N*（回过来再说明等差的优点，体现用等差概念的优势，化繁为简，化腐朽为神奇，体现“数学之美”；并让学生自由的交流，进行“再创造”）可推出dnaamn)1(，n、m∈N*师：1、对通项公式进行分析；通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）2、dnaamn)1(，n、m∈N*挖掘等差数列的函数特征：等差数列的通项公式an=a1＋（n－1）d．可表示为an=dn＋c（其中c=a1－d，n属于N*）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（x属于R）的图象上的一群孤立的点．（画图略）（在数列的通项公式中，每取一个n，都有唯一一个an与之对应，让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征）巩固：师：回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的通项公式。dnaan)1(1=1+（n-1）=ndnaan)1(1=150+（n-1）*10dnaan)1(1=35+（n-1）*（-5）小结：这节课我们一起对生活中常见的一类数据，进行了一次有意义的探索，并总结等差数列的概念求出了等差数列的通项公式，等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．让学生明白“数学来源于生活，应用于生活”。作业：等差数列有很多的性质，请同学们回去后对等差数列的性质进行研究？在生活中寻找一些数据进行一次探索？（研究性作业）说明：导入和新授之间只要过度自然即可，导入环节不超过1-2分钟。上述详案，标注括号的部分在试讲过程中，可以根据实际情况和时间不完全说出来。整个教学过程凸显学生为主体，引导学生“说出“教学过程。板书可以在讲课过程中适当写出，布置作业环节要体现开放性。二、几何课程模板（圆柱的认识）导入师：上节课我们学习了长方体，咱们简单的回顾一下。首先我们教师里面有哪些东西是正方体长方体，他们有哪些方面的性质？生：长方体的组成，就是长方体有6个面，12条棱和8个顶点。相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等，比如教师里面立着的空调就是一个长方体。师：回答的很好，学习几何是很有意思的，它常常和我们的生活联系在一起。再看一下老师手里的杯子，大家来描述一下，它是什么形状？生：圆圆的，像个圆筒一样。师：回答的很好，现在请大家想一下，生活中还有那些物体也是这种样子的形状？生1：超市里面的灌装可乐。生2：教室里面日光灯灯管。师：很好，你们很善于观察生活。刚刚大家列举的物体，圆筒一样的形状，我们称之为圆柱。新授请大家拿出学具，圆柱体模型，观察并想一想圆柱有哪些特征？生1：圆柱有三部分组成，两个圆和一个周围的面。生2：两个圆的面积相等，生3：圆柱有无数条高。师：你能给大家指一指圆柱的高在哪里吗？（学生指）教师划一条侧面上的斜线，这是圆柱的高吗？为什么？两个底面圆心的连线是高吗？高有多少条？师：大家的观察很仔细，确实圆柱是由三部分组成的，两个圆和一个曲面，并且两个圆的面积相等，在圆柱中，两个圆叫圆柱的底面，曲面叫做圆柱的侧面，圆柱有无数条高。（板书）师：通过刚才的研究，我们知道：圆柱是有两个完全一样的圆和一个侧面组成的，是不是任意两个完全相等的圆和一个侧面就一定能组成圆柱呢？（不是）我这里有两个大小完全相同的圆和一个侧面，他们能不能组成一个圆柱呢？（不能）圆柱的底面和侧面之间又有什么样的关系呢？请大家以小组为单位，结合手中的学具进行研究。生1：圆的大小和侧面的粗细一样。师：大家的感觉没错。可是老师总感觉底面圆和侧面之间的关还不够具体，谁有办法能让大家很容易的看到它们之间的关系？再次进行小组合作。组1：我们可以把圆柱的侧面剪开，把它展开后就变成了一个长方形。这样它们就都成了平面图形，就容易进行比较了。师：这个小组的同学把侧面展开变成了长方形，是沿哪里剪开的？（圆柱的高）这样就把侧面这一曲面转变成了平面。板书：化曲为直在以前的学习中，还有哪些知识也用到了这一方法？生2：学习圆的周长时我们也是用到了这一思想。生3：学习圆的面积时我们也是用到了这一思想，把原转化成了近似的长方形。师：大家的想法很有创造力，那展开后的长方形和底面圆之间有什么关系？组2：现在长方形的长等于圆柱的底面周长。师：大家把展开的圆柱体再围起来，验证一下这位同学的结果。（学生操作）还有其他发现吗？生4：长方形的宽等于圆柱的高。师：现在谁能完整地说一说展开后的长方形和圆柱的关系？生5：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。板书：师：刚才通过大家的努力，我们发现了圆柱的基本特征。现在给大家分小组，每小组发两张白纸，大家自己尝试一下做一个白纸。并测量出自己制作的圆柱的各个数据。组1：我们组是利用长62.8厘米求出了底面圆的周长也是62.8厘米，62.8÷3.14÷2=10厘米，所以底面圆的半径是10厘米。用圆规画出了两个圆。粘起来就做成了一个圆柱。组2：我们是把31.4厘米作为圆柱的底面周长，求出底面半径是5厘米，用圆规画出了两个圆做成了圆柱。小结；请大家把做成的圆柱举起来互相欣赏一下。虽然两个小组做成的圆柱形状不同，但他们都用到了今天所学的圆柱的基本特征：圆柱由两个完全相等的圆和一个侧面围成的，圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。练习大家在课堂上面表现的很好，对圆柱模型的研究也很深入，请大家课后在生活中寻找一个圆柱形的物体，并对他的高和底面进行测量，想一想，如果想知道圆柱的面积，可以怎么算。说明：几何课程可以尽量使用模型并结合到实际生活，使课程的设计更有创意。