高中数学模拟汇编---三角函数与解三角形解答题专项训练(有答案)

高中数学模拟汇编---三角函数与解三角形解答题专项训练一．解答题（共30小题）1．（2015•河南二模）已知函数f（x）=sin（﹣ωx）（ω＞0）任意两个零点之间的最小距离为．（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的取值集合；（Ⅱ）求函数y=f（x）﹣cos（ωx+）的单调递增区间．2．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．3．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；（Ⅱ）设，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cosx的值．4．（2015•泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．5．（2015•重庆一模）已知向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，若函数f（x）=的图象与直线y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若，且a=4，求△ABC面积的最大值及此时b、c的值．6．（2015•资阳模拟）已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，n∈R）在区间[0，]上的值域为[1，2]．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．7．（2015•重庆一模）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．8．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．9．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．10．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．11．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？12．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．13．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．14．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．15．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．16．（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．17．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．18．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．22．（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．23．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．24．（2014•河东区二模）在△ABC中，，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设△ABC的面积，求BC的长．25．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．26．（2014•南海区模拟）已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．27．（2014•河东区一模）已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的单调区间．28．（2014•南昌模拟）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0．设函数f（x）=•，且函数f（x）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f（B）=1时，判断△ABC的形状．29．（2014•红桥区二模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．30．（2014•上海模拟）已知向量=（，sinx+cosx）和向量=（1，f（x）），且∥．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f（A﹣）=，BC=，sinB=，求AC的长度．2015年三角函数与解三角形解答题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•河南二模）已知函数f（x）=sin（﹣ωx）（ω＞0）任意两个零点之间的最小距离为．（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的取值集合；（Ⅱ）求函数y=f（x）﹣cos（ωx+）的单调递增区间．考点：正弦函数的单调性．菁优网版权所有专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期，进一步确定α的集合．（Ⅱ）通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式，进一步利用整体思想求单调区间．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（﹣ωx）=cosωx，任意两个零点之间的最小距离为，所以：f（x）的最小正周期为π，故T==π，又ω＞0，故ω=2由f（α）=，得cos2α=，所以，（k∈Z），即又α∈[﹣π，π]，所以．（Ⅱ）函数y=cos2x﹣cos（2x+）==令（k∈Z），解得：所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．点评：本题考查的知识要点：正弦函数的最小正周期的求法，正弦型函数的单调区间．2．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由周期求得ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质求得使f（x）≥成立的x的取值范围．（Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，．再根据，求得，再利用两角差的余弦公式求得cos（2x）=cos[（2x+）﹣]的值．解答：解：（Ⅰ）∵函数图象的相邻两对称轴间的距离，∴函数的周期T=π，，∴f（x）=sin（2x+φ）．将f（x）的图象向左平移个单位后得到的函数为，∵图象关于y轴对称，∴．又，∴，即，由得：，即，∴使的x的取值范围是．（Ⅱ）∵，∴．令得，解得，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．3．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；（Ⅱ）设，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cosx的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；导数的运算．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由周期性求得ω，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的解析式，从而求得使f（x）≥成立的x的取值范围．（Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再由g（x）=，求得sin（x+）的值，可得cos（x+）的值，再由cosx=cos[（x+）﹣]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（Ⅰ）∵函数图象的相邻两对称轴间的距离，∴函数的周期T=π，，∴f（x）=sin（2x+φ），将f（x）的图象向左平移个单位后得到的函数为，∵图象关于y轴对称，∴，又，∴，即．由得：，即，∴使的x的取值范围是．（Ⅱ）∵，∴，令得，解得，所以．∵，∴，∵，∴，∴，∴．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，两角差的余弦公式，属于基础题．4．（2015•泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0求出tanC的值，即可确定出角C的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值．解答：解：（Ⅰ）∵acosC=csinA，由正弦定理得：sinAcosC=sinCsinA，∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴cosC=sinC，即tanC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为，∴S=absinC=×3bsin=，∴b=2，由余弦定理得：c2=4+9﹣6=7，即c=，cosA==，则•=bccos（