第五章--数字控制器的离散化设计方法

第五章数字控制器的离散化设计方法数字控制器的连续化设计是按照连续控制系统的理论在S域内设计模拟调节器，然后再用计算机进行数字模拟，通过软件编程实现的。这种方法要求采样周期足够小才能得到满意的设计结果，因此只能实现比较简单的控制算法。当控制回路比较多或者控制规律比较复杂时，系统的采样周期不可能太小，数字控制器的连续化设计方法往往得不到满意的控制效果。这时要考虑信号采样的影响，从被控对象的实际特性出发，直接根据采样控制理论进行分析和综合，在Z平面设计数字控制器，最后通过软件编程实现，这种方法称为数字控制器的离散化设计方法，也称为数字控制器的直接设计法。数字控制器的离散化设计完全根据采样系统的特点进行分析和设计，不论采样周期的大小，这种方法都适合，因此它更具有一般的意义，而且它可以实现比较复杂的控制规律。5.1数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的连续化设计是把计算机控制系统近似看作连续系统，所用的数学工具是微分方程和拉氏变换；而离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所用的数学工具是差分方程和Z变换，完全采用离散控制系统理论进行分析，直接设计数字控制器。计算机采样控制系统基本结构如图5.1所示。图中G0(s)是被控对象的传递函数，H(s)是零阶保持器的传递函数，G(z)是广义被控对象的脉冲传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数，R(z)是系统的给定输入，C(z)是闭环系统的输出，φ(z)是闭环系统的脉冲传递函数。零阶保持器的传递函数为：sesHTs1)(（5-1）广义被控对象的脉冲传递函数为：)()()(0sGsHZzG（5-2）由图可以求出开环系统的脉冲传递函数为：D(z)H(s)G0(s)R(s)R(z)C(z)c(s)G(z)φ(z)E(z)图5.2输出序列波形图图5.1计算机采样控制系统基本结构图)()()()()(zGzDzEzCzW（5-3）闭环系统的脉冲传递函数为：()()()()()1()()CzDzGzzRzDzGz（5-4）误差的脉冲传递函数为：()1()()1()()eEzzRzDzGz（5-5）显然)(1)(zze（5-6）由式（5-4）可以求出数字控制器的脉冲传递函数为：)](1)[()()(zzGzzD（5-7）如果已知被控对象的传递函数G0(s)，并且可以根据控制系统的性能指标确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)，由上式可以得到离散化方法设计数字控制器的步骤：（1）根据式（5-2）求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)。（2）根据系统的性能指标要求和其它约束条件，确定闭环系统的脉冲传递函数φ(z)。（3）根据式（5-7）求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。（4）根据数字控制器的脉冲传递函数D(z)，求出差分方程，编写控制程序。（5）与硬件连接，进行系统调试。自动控制系统中，有三种典型的输入形式，本章提到的输入信号一般是指典型输入，其表示形式为：（1）单位阶跃输入：111)(1)()(1)(zzRssRttr，，（2）单位速度输入（单位斜坡输入）：2112)1()(1)()(zTzzRssRttr，，（T为采样周期）（3）单位加速度输入：3111232)1(2)1()(1)(21)(zzzTzRssRttr，，由此得到典型输入信号Z变换的一般形式qzzAzR)1()()(1（5-8）式中A(z)是R(z)中不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式，q是输入信号因子，只能取正整数，上面的三种典型输入中，q分别取1，2，3。5.2最少拍无差随动系统的设计在采样过程中，称一个采样周期为一拍。计算机控制系统中，往往要求系统的输出能够以最快的响应速度准确跟踪期望值的变化，最少拍控制就是根据这个要求提出的一种设计方法。最少拍无差数字控制器的设计任务就是根据式（5-7）求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，使闭环系统在某种特定的典型输入作用下，能以最少拍结束响应过程，而且在采样时刻系统不存在稳态误差，输出能够准确地跟踪输入。因此最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数形式为：nnzazazaz2211)((5-9)式中n是使系统在有限拍内达到稳态无静差的所有设计中所能取的最小正整数。从其表现形式可以看出，闭环系统的脉冲响应经过n个采样周期后变为零，即系统在n拍达到稳态。为使所设计的控制器满足最少拍特性，在设计中提出以下具体要求：（1）快速性要求在各种使系统在有限拍内达到稳态无静差的所有设计中，n取最小正整数，也就是说系统的调节时间最短，达到稳态所需要的采样周期最少。（2）无静差要求也就是系统的准确性要求，对于特定的典型输入，当系统达到稳态，其闭环输出在采样时刻能够准确的跟踪输入，系统不存在静差，即c(kT)=r(kT)，e(kT)=0。（3）数字控制器的物理可实现性要求最少拍数字控制器应该是物理可实现的，即数字控制器的输出只与当前的输入信号、以前的输入和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。（4）稳定性要求经过最少拍控制，闭环系统必须是稳定的。下面介绍最少拍无差系统的设计过程。5.2.1典型输入下理想最少拍无差系统的设计1、典型输入下理想最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数φ(z)的确定典型输入是指输入信号的脉冲传递函数R(z)具备式（5-8）的Z变换形式，“理想”是指被控对象为不带纯滞后的稳定环节，即其脉冲传递函数G(z)不存在单位圆上以及单位圆外的零极点，并且不含纯滞后环节。由式（5-5）和（5-6）可知，系统的偏差E(z)为：)()(1)()()(zRzzRzzEe（5-10）由最少拍无差设计的准确性要求，稳态误差应该为零，根据终值定理，系统的稳态误差为：)()(1)1(lim)()1(lim)(1111zRzzzEzezz0)1()()(1)1(lim111qzzzAzz（5-11）因为A(z)不包含(1-z-1)，所以欲使上式为零，必须使)()1()(1)(1zFzzzpe且p≥q（5-12）式中F(z)是关于z-1的待定系数多项式。所以)()1(1)(1zFzzp且p≥q（5-13）由最少拍无差设计的快速性要求，φ(z)应具备式（5-9）的表现形式，其常数项为0，n取最小值，所以F(z)=1，p=q因此最少拍无差控制器设计时应选择φ(z)和φe(z)为：qeqzzzz)1()()1(1)(11(5-14)此时最少拍无差数字控制器的脉冲传递函数D(z)为:qqzzGzzzGzzD)1)(()1(1)](1)[()()(11(5-15)2、三种典型输入下的理想最少拍无差控制系统设计与分析（1）单位阶跃输入此时111)(zzR，输入信号因子q=1，带入式（5-14）得：11111)1()()1(1)(zzzzzzqeq因此有：1)()()(zRzzEe即0e(2)e(1)1e(0)，进一步求出闭环系统的输出：321111)()()(zzzzzzRzzC即1c(2)c(1)0c(0)，针对单位阶跃输入，最少拍无差控制使系统只需一拍就可以达到稳态，在采样点上输出能准确地跟踪输入，静差为零，过渡过程结束。此时控制器的脉冲传递函数为：)1)(()](1)[()()(11zzGzzzGzzD（2）单位速度输入此时211)1()(zTzzR，输入信号因子q=2，带入式（5-14）得：21121211)1()1()(2)1(1)1(1)(zzzzzzzzqeq因此有：121121)1()1()()()(TzzTzzzRzzEe即0)4()3(e(2)e(1)0e(0)eeT，，进一步求出闭环系统的输出：21121)1()2()()()(zTzzzzRzzC432432TzTzTz即T，T，T，4c(4)3c(3)2c(2)0c(1)c(0)，针对单位速度输入，最少拍无差控制使系统只需两拍就可以达到稳态，满足设计的准确性和快速性要求。此时控制器的脉冲传递函数为：2111)1)(()2()](1)[()()(zzGzzzzGzzD（3）单位加速度输入此时31112)1(2)1()(zzzTzR，输入信号因子q=3，带入式（5-14）得：311321311)1()1()(33)1(1)1(1)(zzzzzzzzzqeq因此有：2212311123122)1(2)1()1()()()(zTzTzzzTzzRzzEe即0)4()3(2e(2)e(1)0e(0)2e，eT，针对单位加速度输入，最少拍无差控制使系统只需三拍就可以达到稳态，满足设计的准确性和快速性要求。此时控制器的脉冲传递函数为：31211)1)(()33()](1)[()()(zzGzzzzzGzzD表5-1列出了三种典型输入下理想最少拍无差系统的设计结果。表5-1三种典型输入下的理想最少拍无差系统输入信号r(t)误差脉冲传递函数φe(z)闭环脉冲传递函数φ(z)最少拍无差控制器D(z)调节时间ts1(t)11z1z)1)((11zzGzTt21)1(z21z-2z2111)1)(()2(zzGzz2T221t31)1(z31z-32z+3z31211)1)(()33(zzGzzz3T5.2.2最少拍控制器的物理可实现性和稳定性要求前面设计的最少拍无差控制器是针对理想的被控对象来说的，如果被控对象带有纯滞后环节并包含单位圆上或圆外的零极点，除了考虑准确性、快速性以外，还必须考虑控制器的物理可实现性以及闭环系统的稳定性。（1）最少拍控制器的物理可实现性要求控制器的物理可实现性是指在控制算法中不允许出现未来时刻的偏差值，这就要求数字控制器的脉冲传递函数D(z)不含有z的正幂次项。数字控制器的脉冲传递函数D(z)可以写成下面的形式：nnnmnmnmnnnmmmzazazbzbzbazazbzbzbzD11110111101)(（5-16）式中常数项b0不等于零。其差分方程为：njjmiijkuainmkebku10)()()(（5-17）如果控制器是可实现的，式（5-17）中不允许出现未来时刻的偏差值，即knmk所以nm①如果被控对象的脉冲传递函数G(z)中包含纯滞后环节z，按照式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数D(z)中将含有z这个正幂项，物理不可实现。因此要使控制器物理可实现，就必须消除纯滞后对系统的影响，用闭环脉冲传递函数φ(z)去抵消G(z)中的纯滞后环节z，即φ(z)中也应该包含纯滞后环节z，所以zzazazaznn)()(2211②这样，根据式（5-7）计算出的D(z)就不再包含z，而且把纯滞后环节移到闭环回路之外，对系统的动态、静态性能没有什么影响，只是起了延迟的作用。同时满足以上两个条件，设计的最少拍无差控制器才是物理可实现的。（2）最少拍控制器的稳定性要求如果被控对象的脉冲传递函数G(z)不满足稳定条件，就必须考虑系统的稳定性要求。根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数D(z)为：)](1)[()()(zzGzzD可以看出，如果G(z)存在不稳定的零极点，D(z)会把G(z)不稳定的极点当作零点，把不稳定的零点当作极点，因此数字控制器是不稳定的，这会使控制器输出的控制量u发散，造成执行机构不稳定，从而加快机械磨损，影响控制质量。为了消除G(z)不稳定的零极点对系